عدد طرق تناول الفاكهة (مسألة رياضيات)

كوري لديه 3 تفاحات، و2 برتقالات، و2 موز. إذا كوري يأكل قطعة واحدة من فاكهته في اليوم لمدة أسبوع وقطع الفاكهة في كل فئة لا يمكن تمييزها، فبكم طريقة يمكن لكوري أن يأكل الفاكهة؟ واحدة من هذه الطرق هي $AAAOOBB$.

لحساب عدد الطرق الممكنة لأكل الفاكهة، يمكننا استخدام مبدأ الاختيار المتعدد. نحتاج إلى تحديد كمية كل نوع من الفاكهة التي سيتم تناولها خلال الأسبوع، ومن ثم حساب عدد الطرق التي يمكن بها تناول الفاكهة.

إذاً، يجب على كوري أن يأكل 3 تفاحات خلال الأسبوع. هناك $7$ أيام في الأسبوع، لذلك يمكننا اختيار الأيام التي يأكل فيها التفاح من بينها، وهذا يعني أننا نقوم بترتيب 3 من أصل 7 يومًا، مما يساوي $\binom{7}{3}$ طريقة.

بالنسبة للبرتقال، يجب على كوري أن يأكل 2 برتقالات خلال الأسبوع. بنفس المنطق، يمكننا اختيار الأيام التي يأكل فيها البرتقال من بين 7 أيام، وهذا يعني أن لدينا $\binom{7}{2}$ طريقة لتناول البرتقال.

أما بالنسبة للموز، فكمية الفاكهة هي ثابتة، لذلك لا يوجد حاجة للترتيب، فمجرد اختيار الأيام التي يأكل فيها الموز يعطينا النتيجة.

نحتاج الآن إلى ضرب عدد الطرق لتناول كل نوع من الفاكهة معًا للحصول على الإجابة النهائية. إذاً:

عدد الطرق لتناول التفاح = $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times (7-3)!} = 35$ طريقة.

عدد الطرق لتناول البرتقال = $\binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \times (7-2)!} = 21$ طريقة.

عدد الطرق لتناول الموز = 1 طريقة (لا حاجة للترتيب).

نضرب هذه الأعداد معًا للحصول على عدد الطرق الإجمالي:

$35 \times 21 \times 1 = 735$ طريقة.

إذاً، هناك 735 طريقة ممكنة لكوري لتناول الفاكهة خلال الأسبوع.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبادئ من الرياضيات التحليلية، بما في ذلك مبدأ الاختيار المتعدد ومبدأ الجمع.

1. مبدأ الاختيار المتعدد (التصنيفات):
   هذا المبدأ يستخدم لحساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن تحدث فيها نتيجة معينة من عمليات اختيار متعددة. يعطينا مبدأ الاختيار المتعدد عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة محددة من العناصر من مجموعة أكبر.

2. مبدأ الجمع:
   هذا المبدأ يستخدم لحساب إجمالي عدد الطرق الممكنة لحدوث نتيجة معينة من خلال جمع عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن تحدث في كل حالة فردية.

الآن، لحساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يأكل فيها كوري الفاكهة، نقوم بتحديد كمية كل نوع من الفواكه التي سيأكلها خلال الأسبوع ومن ثم نستخدم المبادئ المذكورة أعلاه.

1. للتفاح:
   لدينا 3 تفاحات و7 أيام في الأسبوع. لتحديد الأيام التي يأكل فيها كل تفاحة، نستخدم مبدأ الاختيار المتعدد لتحديد 3 أيام من بين الـ 7 أيام، وهذا يعطينا $\binom{7}{3}$ طريقة.

2. للبرتقال:
   لدينا 2 برتقال و7 أيام في الأسبوع. نستخدم مبدأ الاختيار المتعدد مرة أخرى لتحديد 2 أيام من بين الـ 7 أيام، وهذا يعطينا $\binom{7}{2}$ طريقة.

3. للموز:
   نظرًا لأن عدد البنانا ثابت، فإن عدد الطرق لتناول الموز يكون 1 طريقة (لا حاجة للترتيب).

نضرب عدد الطرق لكل نوع من الفاكهة معًا باستخدام مبدأ الجمع للحصول على الإجابة النهائية.

عدد الطرق لتناول التفاح = $\binom{7}{3}$

عدد الطرق لتناول البرتقال = $\binom{7}{2}$

عدد الطرق لتناول الموز = 1

ثم نقوم بضرب هذه الأعداد معًا:

$= \binom{7}{3} \times \binom{7}{2} \times 1$

$= \frac{7!}{3! \times (7-3)!} \times \frac{7!}{2! \times (7-2)!} \times 1$

$= \frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{7!}{2! \times 5!} \times 1$

$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 1$

$= 35 \times 21 \times 1$

$= 735$

إذاً، هناك 735 طريقة ممكنة لكوري لتناول الفاكهة خلال الأسبوع.