عدد جذور معادلة مصفوفة ثلاثية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لتكون $a$، $b$، $c$ أعدادًا حقيقية غير صفرية. ابحث عن عدد الجذور الحقيقية لمعادلة
$\begin{vmatrix} x & c & -b \\ -c & x & a \\ b & -a & x \end{vmatrix} = 0.$

الحل:

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة محددة لحساب قيمة المتحولة $x$ التي تجعل المصفوفة متناسقة. المصفوفة هي المتحول المحدد الذي نسميه $A$ وتأخذ الشكل التالي:

$A = \begin{pmatrix} x & c & -b \\ -c & x & a \\ b & -a & x \end{pmatrix}$

بما أننا نبحث عن جذور المعادلة، فإننا نريد أن نحل معادلة المصفوفة التي تأخذ القيمة الصفرية. لذلك، نقوم بحساب محدد المصفوفة $A$ ونجعله يساوي الصفر:

$\text{det}(A) = 0$

نحسب محدد المصفوفة باستخدام التعبير التالي:

$\text{det}(A) = x(x^2 – (ab + bc + ca)) – abc – abc$

الآن، نحل المعادلة:

$x(x^2 – (ab + bc + ca)) – 2abc = 0$

الآن، لتسهيل الحسابات، نقوم بتقديم بعض التعبيرات الجديدة:

$p = ab + bc + ca$

$q = abc$

إذاً، المعادلة تصبح:

$x(x^2 – p) – 2q = 0$

$x^3 – px – 2q = 0$

الآن، للعثور على الجذور، نستخدم طرق حسابية مثل تقديم طرف القسمة لحساب الجذور. ونحن هنا لا نعرف ما إذا كانت الجذور حقيقية أو معقدة، لكن يمكننا استخدام قاعدة Descartes لتقدير عدد الجذور الحقيقية.

قاعدة Descartes تقول إن عدد الجذور الحقيقية لمعادلة بولينومية يمكن تقديره بواسطة عدد التغيرات في علامات معاملاتها. وهنا، إذا كان هناك تغيّر في علامات المعاملات، فإن عدد الجذور الحقيقية سيكون أقل من هذا التغيّر بمقدار عدد زوجي (0 أو 2).

بما أن معامل القوة الثالثة إيجابي، ومعامل القوة الأولى سلبي (بسبب الـ $-p$)، فإنه يجب أن يكون هناك تغيّر واحد على الأقل في علامات المعاملات.

لذلك، يجب أن يكون هناك إما جذر واحد أو ثلاثة جذور حقيقية للمعادلة.

هذا هو الحل للمسألة، حيث نحسب الجذور بشكل دقيق ونقدم تقديرًا لعدد الجذور الحقيقية باستخدام قاعدة Descartes.

لحل المسألة وتحديد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة المعطاة، سنقوم باتباع الخطوات التالية:

1. حساب محدد المصفوفة (Determinant):
   نبدأ بحساب محدد المصفوفة $A$ المعطاة في المسألة. يُمثل محدد المصفوفة حجم المنطقة الموقعة بين الأعمدة والصفوف في المصفوفة. إذا كانت قيمة محدد المصفوفة تساوي الصفر، فإن المصفوفة غير قابلة للعكس ولها جذور.

2. تحويل المعادلة إلى معادلة بولينومية:
   بما أن المصفوفة ذات حجم 3×3، فإن المحدد سيكون معادلة بولينومية من الدرجة الثالثة بالنسبة للمتغير $x$. نقوم بحساب المحدد ونجعله يساوي الصفر للحصول على معادلة بولينومية.

3. استخدام قاعدة Descartes:
   قاعدة Descartes تقدم تقديرًا لعدد الجذور الحقيقية لمعادلة بولينومية بالاعتماد على عدد التغيّرات في علامات المعاملات. بما أنه في معادلتنا هناك تغيّر في علامات المعاملات (معامل القوة الثالثة إيجابي والمعامل الأول سالب)، فإننا نتوقع وجود جذر واحد على الأقل أو ثلاثة جذور.

4. حساب الجذور الحقيقية (إذا لزم الأمر):
   في حالة وجود جذور حقيقية، يمكننا استخدام طرق مثل طريقة تقديم طرف القسمة أو طريقة Newton-Raphson لحساب القيم التقريبية للجذور.

5. التحقق من الجذور الحقيقية:
   يتطلب التحقق من الجذور الحقيقية التأكد من أنها تلبي الشروط المعطاة في المعادلة الأصلية.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

• قاعدة تحديد المصفوفات.
• قوانين الجذور والمعادلات البولينومية.
• قاعدة Descartes لتقدير عدد الجذور الحقيقية للمعادلة.

من خلال هذه الخطوات والقوانين المذكورة، يمكننا حل المسألة وتحديد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة المعطاة.