عدد المربعات الكاملة الفارقة (مسألة رياضيات)

كم عدد المربعات الكاملة التي تقل قيمتها عن 10,000 ويمكن تعبيرها عن طريق الفرق بين مربعين متتاليين؟

لنقم بحل المسألة:

لنفترض أن $n^2$ و $(n+1)^2$ هما المربعين المتتاليين. فإذا كان $m^2$ هو الفرق بينهما، فإنه يمكننا كتابته بالشكل التالي:

$m^2 = (n+1)^2 – n^2$

بتوسيع الجهة اليمنى، نحصل على:

$m^2 = n^2 + 2n + 1 – n^2 = 2n + 1$

إذاً، يجب على $m$ أن يكون عدداً فرديًا، لأن $m^2$ يعبر عن مربع.

الآن، نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $m$ من العدد الفردي $1$ وحتى $2n + 1 < 10000$، لأننا نبحث عن الأرقام التي أقل من 10000.

$2n + 1 < 10000$
$2n < 9999$
$n < 4999.5$

لكن لا يمكن أن يكون $n$ عددًا غير صحيح، لذا يجب أن نقرب هذا الرقم إلى أقرب عدد صحيح أصغر منه، وهو $4999$.

الآن، عندما نعيد حساب القيم الممكنة لـ $m$ بناءً على هذا الحد الأقصى لـ $n$، نحصل على:

$2 \times 4999 + 1 = 9999$

هذا يعني أن أقصى قيمة لـ $m^2$ هي $9999$.

الآن، نحتاج إلى معرفة عدد المربعات الكاملة التي يمكن أن تكون ناتج فارق مربعين متتاليين، وهي نفس عدد المربعات التي تقل قيمتها عن 10000. إذاً، نقوم بحساب جذر كلي لـ $9999$ ونحصل على العدد التالي:

$\sqrt{9999} \approx 99.995$

إذاً، هناك $99$ مربع كامل أقل من 10000 يمكن تمثيلها كفارق بين مربعين متتاليين.

لذا، يوجد 99 مربع كامل يمكن تمثيلها كفارق بين مربعين متتاليين وفقًا للشرط المعطى.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المعرفة الرياضية والقوانين المتعلقة بالأعداد والمربعات الكاملة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون مربعين متتاليين: إذا كان $n^2$ و $(n+1)^2$ هما مربعين متتاليين، فإن الفرق بينهما يمكن تمثيله بمربع آخر $m^2$ حيث $m$ يكون عددا فرديًا.

2. العدد 10000 هو الحد الأقصى للبحث عن المربعات الكاملة.

بدايةً، نقوم بتحديد العدد الأكبر للمربع الكامل الذي يمكن أن يكون الفرق بين مربعين متتاليين، وذلك بحساب الفرق الأقصى بين مربعين متتاليين أقل من 10000.

لنقم بحساب الفرق الأقصى:
$2n + 1 < 10000$
$2n < 9999$
$n < 4999.5$

لكن نحتاج لعدد صحيح لـ $n$، لذا نقربه إلى أقرب عدد صحيح أصغر منه، الذي هو 4999.

الآن، بمعرفة $n$، نحسب قيمة $m^2$:
$m^2 = 2n + 1$

علمًا بأن $m$ يجب أن يكون عددًا فرديًا لأن $m^2$ يعبر عن مربع، فنحسب قيم ممكنة لـ $m$ من 1 حتى $2 \times 4999 + 1 = 9999$، حيث يكون $m^2$ أقل من 10000.

بعد ذلك، نستخدم القاعدة الثانية لحساب العدد الكلي للمربعات الكاملة التي يمكن أن تكون ناتج فرق بين مربعين متتاليين.

نستخرج الجذر التربيعي للقيمة العظمى للمربع $9999$ ونحسب العدد الصحيح الأقل منه، الذي يساوي 99.

لذا، يوجد 99 مربع كامل أقل من 10000 يمكن تمثيلها كفرق بين مربعين متتاليين.

هذا هو الحل الشامل للمسألة باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالأعداد والمربعات الكاملة.