عدد الفروق بين أعضاء مجموعة الأعداد. (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة الموجبة المختلفة التي يمكن تمثيلها كفرق بين عضوين مختلفين من المجموعة ${1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16 }$ هو عدد الأعداد التي يمكن تشكيلها بالطريقة التالية:

لنقم بتشكيل كافة الفروق الممكنة بين الأعضاء المختلفين في المجموعة المعطاة. يمكننا أن نحسب الفروق بإجراء الطرح بين جميع الأعداد المختارة مرتين، مع الانتباه إلى عدم تكرار الأعداد نفسها.

أولاً، لنحسب عدد الأعضاء في المجموعة المعطاة. لدينا مجموعة من 16 عددًا (1 إلى 16).

الآن، سنقوم بحساب كافة الفروق بين هذه الأعداد، مع تجنب تكرار الأعداد:

• الفرق بين الأعداد 16 و 1 يكون 15.
• الفرق بين الأعداد 16 و 2 يكون 14.
• …
• الفرق بين الأعداد 16 و 15 يكون 1.

بالإضافة إلى ذلك، سنقوم بحساب الفروق بين الأعضاء القريبين من بعضهم البعض. على سبيل المثال، بالنسبة للأعضاء 1 إلى 15، سنحصل على 14 فرق مختلف، وبالنسبة للأعضاء 2 إلى 16، سنحصل على 14 فرق مختلفة أيضًا. وهكذا.

إجمالاً، سنحصل على عدد متزايد من الفروق، يبدأ من 1 ويصل إلى 15، بمجموع 15 فرقًا.

بالتالي، عدد الأعداد الصحيحة الموجبة المختلفة التي يمكن تمثيلها كفرق بين عضوين مختلفين من المجموعة ${1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16 }$ هو 15.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام قواعد الجمع والطرح وفهم تشكيل الأعداد والعلاقات بينها. دعونا نقوم بتحليل المسألة بشكل أكبر:

1. المجموعة المعطاة: المجموعة التي يتم استخدامها في هذه المسألة هي ${1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16 }$، والتي تحتوي على 16 عضواً.

2. تشكيل الفروق بين الأعداد: لحساب عدد الأعداد المختلفة التي يمكن تمثيلها كفرق بين أعضاء المجموعة، يجب علينا تشكيل كافة الفروق بين الأعضاء بشكل صحيح.

3. قواعد الحساب: في هذه المسألة، نستخدم قواعد الجمع والطرح لتشكيل الفروق بين الأعداد. علاوة على ذلك، يجب علينا أن نضع في اعتبارنا عدم تكرار الأعداد في تشكيل الفروق.

الآن، دعونا نقوم بتشكيل الفروق بين الأعضاء وحساب عددها:

• الفرق بين الأعداد 16 و 1 يكون 15.
• الفرق بين الأعداد 16 و 2 يكون 14.
• الفرق بين الأعداد 16 و 3 يكون 13.
• …
• الفرق بين الأعداد 16 و 15 يكون 1.

وهكذا، نلاحظ أننا حصلنا على 15 فرقًا.

بالإضافة إلى ذلك، يمكننا أيضًا حساب الفروق بين الأعضاء القريبين من بعضهم البعض. على سبيل المثال:

• للأعضاء من 1 إلى 15، سنحصل على 14 فرقًا مختلفة.
• للأعضاء من 2 إلى 16، سنحصل أيضًا على 14 فرقًا مختلفة.

إذاً، الإجمالي سيكون 15 (الفروق بين 16 والأعداد) + 14 (الفروق بين 1 و 15) + 14 (الفروق بين 2 و 16) = 43 فرقًا.

وبما أننا نبحث عن الأعداد الصحيحة الموجبة، فإن هذه الفروق تشمل الأعداد من 1 إلى 15. لذلك، يمكن تمثيل 15 عددًا مختلفًا كفروق بين أعضاء المجموعة المعطاة.

بالتالي، الإجابة النهائية هي 15.