عدد أصفار 65! وتحليل العدد (مسألة رياضيات)

عدد الأصفار التي ينتهي بها 65! هو معامل الظل العددي لأعداد العشرة في تحليل تجزئة العدد. لحساب هذا العدد، نقوم بتحليل مضاعفات عدد 5 في تكوين 65!، حيث يعتبر كل عدد في المضاعفة مساهمًا في توليد صفر واحد في نهاية العدد.

عدد الأصفار يعتمد على عدد مرات الظهور الكلي لعامل الرقم 5 في تجزئة 65!، وهو يحسب بواسطة القسمة على 5 ومضاعفاتها.

لنقوم بحساب ذلك:
$\frac{65}{5} = 13$

إذاً، هناك 13 عامل رقم 5 في تحليل تجزئة 65!. ومن ثم، نضيف عدد الأصفار التي تأتي من مضاعفات 25، حيث يساهم العامل 5 في إضافة صفر إضافي. نقوم بالقسمة على 25 ومضاعفاتها:
$\frac{65}{25} = 2$

لدينا إجمالاً 15 عامل رقم 5. وبما أن العدد 5 يظهر مرتين، فإن عدد الأصفار في نهاية 65! هو $2 \times 15 = 30$.

إذاً، 65! ينتهي بصفر 30 صفرًا.

لحل مسألة عدد الأصفار التي ينتهي بها 65!، يمكننا استخدام مفهوم تحليل تجزئة العدد إلى عوامله الأساسية. في هذه الحالة، نستند إلى عوامل العدد 5 و2.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون القسمة على 5:
   يُستخدم لحساب كم عدد مرات يحدث العدد 5 في تحليل العدد.
   $\frac{n}{5}$

2. قانون القسمة على 25:
   يُستخدم لحساب كم عدد مرات يحدث العدد 25 في تحليل العدد.
   $\frac{n}{25}$

حل المسألة:

نقوم بحساب عدد مرات الظهور الكلي لعامل الرقم 5 في تجزئة 65! باستخدام قانون القسمة على 5:
$\frac{65}{5} = 13$

يعني هذا أن لدينا 13 عاملًا من العدد 5. ثم، نحسب عدد مرات ظهور العدد 25 باستخدام قانون القسمة على 25:
$\frac{65}{25} = 2$

لدينا إجمالاً 15 عامل رقم 5. وبما أن العدد 5 يظهر مرتين في 25، فإننا نضرب هذا العدد في 2 للحصول على عدد مرات ظهور 25. إذاً:
$15 \times 2 = 30$

إذاً، هناك 30 عامل رقم 5 في تحليل تجزئة 65!. وبما أن كل عامل 5 يساهم في إضافة صفر واحد في النهاية، فإن 65! ينتهي بصفر 30 صفرًا.