ضرب المصفوفات: تطبيق وفهم (مسألة رياضيات)

نريد حساب حاصل ضرب المصفوفتين:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix},$
$B = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

للقيام بذلك، نقوم بضرب كل عنصر في الصف الأول للمصفوفة $A$ بالعناصر المتوافقة في الأعمدة الأولى للمصفوفة $B$ ونجمع النواتج. ثم نكرر هذه العملية للعناصر في الصف الثاني للمصفوفة $A$. لنقم بحساب ذلك بالتفصيل:

$\text{العنصر في الصف الأول والعمود الأول:}$
$(2 \times 8) + (0 \times 1) = 16.$

$\text{العنصر في الصف الأول والعمود الثاني:}$
$(2 \times -2) + (0 \times 1) = -4.$

$\text{العنصر في الصف الثاني والعمود الأول:}$
$(5 \times 8) + (-3 \times 1) = 40 – 3 = 37.$

$\text{العنصر في الصف الثاني والعمود الثاني:}$
$(5 \times -2) + (-3 \times 1) = -10 – 3 = -13.$

إذًا، حاصل ضرب المصفوفتين $A$ و $B$ يكون:

$AB = \begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 37 & -13 \end{pmatrix}.$

لحل هذه المسألة وحساب حاصل الضرب بين المصفوفتين $A$ و $B$، نتبع الخطوات التالية:

المصفوفة $A$ هي:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

والمصفوفة $B$ هي:

$B = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

لحساب حاصل الضرب $AB$:

$AB = \begin{pmatrix} (2 \times 8 + 0 \times 1) & (2 \times -2 + 0 \times 1) \\ (5 \times 8 + -3 \times 1) & (5 \times -2 + -3 \times 1) \end{pmatrix}$

نقوم بإجراء العمليات الحسابية:

$AB = \begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 40 – 3 & -10 – 3 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 37 & -13 \end{pmatrix}$

القوانين المستخدمة في الحل تعتمد على ضرب العناصر في المصفوفتين وجمع النواتج. هنا بعض القوانين المستخدمة:

1. ضرب العناصر:
   $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} (A)_{ik} \cdot (B)_{kj}$

2. جمع النواتج:
   $(AB)_{ij} = \text{المجموع} \left( (A)_{ik} \cdot (B)_{kj} \right)$

حيث $A$ و $B$ هما مصفوفتان بأحجام مناسبة للضرب، و $n$ هو حجم الصفوف والأعمدة في المصفوفة.