ضرب المصفوفات: تطبيق وحل (مسألة رياضيات)

نريد حساب حاصل ضرب المصفوفتين:

للقيام بذلك، نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة باستخدام الصيغة التالية لضرب صف في الأولى بعمود في الثانية:
$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}$

حيث أن $c_{ij}$ هو العنصر في الصف $i$ والعمود $j$ في المصفوفة الناتجة، و $a_{ik}$ هو العنصر في الصف $i$ والعمود $k$ في المصفوفة الأولى، و $b_{kj}$ هو العنصر في الصف $k$ والعمود $j$ في المصفوفة الثانية.

بالتالي، للعنصر $c_{11}$ في المصفوفة الناتجة:
$c_{11} = (2 \times 8) + (X \times 1) = 16 + X$

للعنصر $c_{12}$ في المصفوفة الناتجة:
$c_{12} = (2 \times -2) + (X \times 1) = -4 + X$

للعنصر $c_{21}$ في المصفوفة الناتجة:
$c_{21} = (5 \times 8) + (-3 \times 1) = 40 – 3 = 37$

للعنصر $c_{22}$ في المصفوفة الناتجة:
$c_{22} = (5 \times -2) + (-3 \times 1) = -10 – 3 = -13$

وبما أن النتيجة المعطاة هي:

نستطيع ملاحظة أن العناصر الثلاثة الأولى متطابقة مع العناصر المحسوبة سابقًا.

بالتالي، يجب أن يكون $X = 0$ لتتوافق النتيجة مع النتيجة المعطاة.

لحل المسألة، نقوم بعملية ضرب المصفوفات كما هو موضح في السؤال. القوانين المستخدمة هي قوانين الضرب للمصفوفات.

لنتذكر قوانين ضرب المصفوفات:

1. الصفوف × الأعمدة: نحتاج لضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية.

2. حساب العناصر الناتجة: للعنصر في المصفوفة الناتجة في الصف $i$ والعمود $j$، نقوم بجمع حاصل ضرب كل عنصر في الصف $i$ بالعنصر المقابل له في العمود $j$.

بالنظر إلى الحسابات التي قمنا بها سابقًا، يتبين لنا أنه عندما نحسب العنصر $c_{12}$ في المصفوفة الناتجة، نحتاج إلى ضرب العنصر الثاني في الصف الأول من المصفوفة الأولى (الذي هو $X$) بالعنصر الأول في العمود الثاني من المصفوفة الثانية (الذي هو 1). وهذا يؤدي إلى $X \times 1$.

ومن ثم، عند مقارنة النتيجة المعطاة في السؤال $\begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 37 & -13 \end{pmatrix}$، يجب أن يكون $X = 0$ حتى تتماشى النتيجة مع النتيجة المعطاة في السؤال.