زيادة متوسط الأعمار بعد الاستبدال

بعد استبدال رجلين يبلغان من العمر 21 عامًا و23 عامًا برجلين جديدين، ارتفع متوسط أعمار 10 رجال بمقدار “س” سنة. ما هو متوسط عمر الرجلين الجديدين؟

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب المتوسط الأصلي لأعمار الرجال العشرة. لدينا متوسط أعمارهم قبل الاستبدال:

$\text{المتوسط الأصلي} = \frac{21 + 23 + \sum_{i=3}^{10} x_i}{10}$

حيث $x_i$ هو عمر الرجل رقم $i$ في الفريق. الآن نقوم بحساب مجموع الأعمار الأصلي:

$\text{مجموع الأعمار الأصلي} = 21 + 23 + \sum_{i=3}^{10} x_i$

ومن ثم نستخدم المتوسط الأصلي لحساب مجموع الأعمار بعد الاستبدال:

$\text{مجموع الأعمار بعد الاستبدال} = \text{مجموع الأعمار الأصلي} + 2s$

حيث $s$ هو الارتفاع في المتوسط بسبب الاستبدال. الآن نعيد حساب المتوسط بعد الاستبدال:

$\text{المتوسط بعد الاستبدال} = \frac{\text{مجموع الأعمار بعد الاستبدال}}{10}$

وأخيرًا، نستخدم الفرق بين المتوسطين لحساب القيمة المجهولة $s$:

$s = \text{المتوسط بعد الاستبدال} – \text{المتوسط الأصلي}$

بعد حساب قيمة $s$، يمكننا إيجاد المتوسط للرجلين الجديدين بإضافة $s$ إلى المتوسط الأصلي للرجال العشرة.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالمتوسطات. سنتبع الخطوات التالية:

1. حساب المتوسط الأصلي:
   يتمثل المتوسط الأصلي لأعمار الرجال العشرة في العبارة التالية:
   $\text{المتوسط الأصلي} = \frac{21 + 23 + \sum_{i=3}^{10} x_i}{10}$

2. حساب مجموع الأعمار الأصلي:
   يمكن حساب مجموع الأعمار الأصلي بجمع الأعمار الفردية:
   $\text{مجموع الأعمار الأصلي} = 21 + 23 + \sum_{i=3}^{10} x_i$

3. حساب مجموع الأعمار بعد الاستبدال:
   بمجرد استبدال الرجلين، يمكن حساب المجموع الجديد بإضافة $2s$ (حيث $s$ هو الزيادة في المتوسط) إلى المجموع الأصلي:
   $\text{مجموع الأعمار بعد الاستبدال} = \text{مجموع الأعمار الأصلي} + 2s$

4. حساب المتوسط بعد الاستبدال:
   المتوسط بعد الاستبدال يمثله العبارة التالية:
   $\text{المتوسط بعد الاستبدال} = \frac{\text{مجموع الأعمار بعد الاستبدال}}{10}$

5. حساب قيمة $s$:
   الفرق بين المتوسطين يساوي زيادة المتوسط ناتجة عن الاستبدال:
   $s = \text{المتوسط بعد الاستبدال} – \text{المتوسط الأصلي}$

6. إيجاد المتوسط للرجلين الجديدين:
   يمكن حساب المتوسط للرجلين الجديدين بإضافة $s$ إلى المتوسط الأصلي للرجال العشرة:
   $\text{المتوسط للرجلين الجديدين} = \text{المتوسط الأصلي} + s$

قد نستخدم في هذا الحل القوانين الرياضية التالية:

• قانون المتوسط:
  $\text{المتوسط} = \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عدد القيم}}$

• قانون الزيادة في المتوسط:
  يتيح لنا حساب كمية الزيادة في المتوسط عند استبدال عناصر.

• العلاقة بين المجموع والمتوسط:
  $\text{مجموع القيم} = \text{المتوسط} \times \text{عدد القيم}$

• العلاقة بين متوسطين متتاليين:
  يمكن حساب الزيادة في المتوسط بطرح المتوسط الأصلي من المتوسط بعد الاستبدال.