زيادة إنتاج الكرنب: تحليل رياضي للمساحة المربعة

لدينا حديقة لمزارع تزرع فيها الكرنب، وتكون هذه الحديقة على شكل مربع. يستغرق كل كرنب مساحة قدرها 1 قدم مربع في الحديقة. في هذا العام، قررت المزارع زيادة إنتاجها بمقدار 181 كرنبة مقارنة بالعام الماضي. الجدير بالذكر أن شكل المساحة المستخدمة لزراعة الكرنب لم يتغير، ولا يزال مربعًا كما كان في العام السابق. السؤال هو: كم عدد الكرنب الذي أنتجته المزارعة هذا العام؟

الحل:

لنقم بتسمية عدد الكرنب التي زرعتها المزارعة في العام السابق بـ “س” (عدد الكرنب في العام السابق)، وعدد الكرنب هذا العام بـ “س + 181” (زيادة عدد الكرنب هذا العام). نعلم أن مساحة الحديقة هي مربعة.

لحساب عدد الكرنب هذا العام، يمكننا استخدام معادلة لمساحة المربع:
$\text{مساحة المربع} = (\text{طول الضلع})^2$

نعلم أن مساحة المربع تتألف من عدد الكرنب المزروعة، وكل كرنب يحتل 1 قدم مربع، لذا:
$(\text{عدد الكرنب في العام السابق})^2 = س$

وأيضًا:
$(\text{عدد الكرنب هذا العام})^2 = (س + 181)$

الآن، نقوم بحساب الفرق بين مساحتي المربعين (العام الحالي والعام السابق) ونجد أنه يكون ناتج الجمع بين الزيادة في عدد الكرنب وضعف طول الضلع:

$(س + 181)^2 – س^2 = 181 + 2س$

نحل المعادلة:
$181 + 2س = (\text{مساحة المربع في العام الحالي}) – (\text{مساحة المربع في العام السابق})$

نقوم بوضع القيم المعروفة وحل المعادلة:
$181 + 2س = (س + 181)^2 – س^2$

بعد الحسابات، نحصل على قيمة $س$، وهي عدد الكرنب في العام السابق. ثم نقوم بإيجاد عدد الكرنب في العام الحالي بإضافة 181 إلى هذه القيمة.

بالطبع، دعونا نقوم بحساب تفصيلي للمسألة وذلك باستخدام بعض القوانين الرياضية المهمة.

لنحل المسألة، نستخدم القانون الرياضي الذي يعبر عن مساحة المربع، وهو $\text{مساحة المربع} = (\text{طول الضلع})^2$.

لنمثل عدد الكرنب في العام السابق بحرف $س$، وبناءً على ذلك، نعرب عن عدد الكرنب في العام الحالي بـ $س + 181$، حيث أنها زيادة بمقدار 181.

باستخدام القانون الرياضي، نعبّر عن مساحة المربع في العام السابق بـ $س^2$، وعن مساحة المربع في العام الحالي بـ $(س + 181)^2$.

نعلم أن الفرق بين مساحتي المربعين يُعبر عن زيادة عدد الكرنب، أي $(س + 181)^2 – س^2$، وهو أيضاً يعادل ضعف الزيادة في عدد الكرنب الذي هو 181. لذلك، لدينا المعادلة:

$181 + 2س = (س + 181)^2 – س^2$

الآن، نقوم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $س$، وبالتالي نعرف عدد الكرنب في العام السابق. بعد ذلك، يمكننا إيجاد عدد الكرنب في العام الحالي بإضافة 181 إلى هذه القيمة.

تُستخدم في هذا الحل القوانين التالية:

1. قانون حساب مساحة المربع: $\text{مساحة المربع} = (\text{طول الضلع})^2$
2. قانون الفرق بين مربعين: $(a + b)^2 – a^2 = 2ab + b^2$