زيادة أبعاد الأسطوانة: حساب المتغير المجهول (مسألة رياضيات)

زيادة نصف قطر اسطوانة بمقدار 6 وحدات أدت إلى زيادة حجمها بـ y وحدة مكعبة. زيادة ارتفاع الأسطوانة بمقدار X وحدة أيضًا تؤدي إلى زيادة حجمها بـ y وحدة مكعبة. إذا كان الارتفاع الأصلي هو 2 والنصف القطري الأصلي هو 6، ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

حجم الأسطوانة الأصلية:
$V_{\text{أصلي}} = \pi r_{\text{أصلي}}^2 h_{\text{أصلي}}$

حيث:
$r_{\text{أصلي}} = 6$
$h_{\text{أصلي}} = 2$

$V_{\text{أصلي}} = \pi \times 6^2 \times 2$

الآن، عند زيادة نصف القطر بـ 6 وحدات:
$r_{\text{جديد}} = r_{\text{أصلي}} + 6 = 6 + 6 = 12$

زيادة الحجم ($y$) بسبب زيادة نصف القطر:
$y = \pi (r_{\text{جديد}}^2 h_{\text{أصلي}} – r_{\text{أصلي}}^2 h_{\text{أصلي}})$
$y = \pi ((12)^2 \times 2 – (6)^2 \times 2)$

وهكذا، نحصل على قيمة $y$.

ثم، عند زيادة الارتفاع بـ $X$ وحدة:
$h_{\text{جديد}} = h_{\text{أصلي}} + X$

زيادة الحجم ($y$) بسبب زيادة الارتفاع:
$y = \pi (r_{\text{أصلي}}^2 h_{\text{جديد}} – r_{\text{أصلي}}^2 h_{\text{أصلي}})$
$y = \pi (6^2 \times (2 + X) – 6^2 \times 2)$

الآن، لحساب قيمة $X$، نعتبر أن الزيادة في الحجم بسبب زيادة نصف القطر تساوي الزيادة في الحجم بسبب زيادة الارتفاع:
$\pi ((12)^2 \times 2 – (6)^2 \times 2) = \pi (6^2 \times (2 + X) – 6^2 \times 2)$

نقوم بحساب القيم ونحل لـ $X$.

لحساب قيمة المتغير المجهول $X$ في المسألة، سنقوم بتوسيع الحسابات واستخدام القوانين الرياضية المناسبة. نبدأ بحساب حجم الأسطوانة الأصلية:

$V_{\text{أصلي}} = \pi \times 6^2 \times 2$

ونحصل على قيمة $V_{\text{أصلي}}$.

ثم، نقوم بحساب حجم الأسطوانة بعد زيادة نصف القطر:

$r_{\text{جديد}} = 6 + 6 = 12$

$V_{\text{جديد}} = \pi \times 12^2 \times 2$

ونحصل على قيمة $V_{\text{جديد}}$.

الآن، نستخدم القانون الرياضي لحساب الزيادة في الحجم ($y$) بسبب زيادة نصف القطر:

$y = V_{\text{جديد}} – V_{\text{أصلي}}$

نعرف أن:

$y = \pi \times ((12)^2 \times 2 – (6)^2 \times 2)$

وبحساب هذه القيمة، نحصل على القيمة المحددة لـ $y$.

ثم، نتجه إلى حساب زيادة الحجم ($y$) بسبب زيادة الارتفاع ($X$):

$h_{\text{جديد}} = 2 + X$

$V_{\text{جديد}} = \pi \times 6^2 \times (2 + X)$

نستخدم القانون الرياضي لحساب الزيادة في الحجم ($y$) بسبب زيادة الارتفاع:

$y = V_{\text{جديد}} – V_{\text{أصلي}}$

نعرف أن:

$y = \pi \times (6^2 \times (2 + X) – 6^2 \times 2)$

بحساب هذه القيمة، نحصل على القيمة المحددة لـ $y$.

الآن، لحساب قيمة المتغير المجهول $X$، نستخدم العلاقة التي تربط الزيادة في الحجم بسبب زيادة نصف القطر بالزيادة في الحجم بسبب زيادة الارتفاع:

$\pi \times ((12)^2 \times 2 – (6)^2 \times 2) = \pi \times (6^2 \times (2 + X) – 6^2 \times 2)$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة وحساب القيم للوصول إلى قيمة $X$.

القوانين المستخدمة هي:

1. حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$
2. قانون حساب الحجم الناتج عن زيادة نصف القطر: $y = V_{\text{جديد}} – V_{\text{أصلي}}$
3. قانون حساب الحجم الناتج عن زيادة الارتفاع: $y = V_{\text{جديد}} – V_{\text{أصلي}}$
4. العلاقة بين زيادة حجم الأسطوانة بسبب زيادة نصف القطر وزيادة الارتفاع.