دوال الضرب: قاعدة أساسية في الرياضيات (مسألة رياضيات)

نعتبر دالة $f(x)$ التي ترتبط بالشرط المعطى بالعلاقة التالية:

$f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$

لنحسب قيمة $f(0)$، نستخدم العلاقة المعطاة عندما نعين قيمة $x$ بصفر:

$f(0 + y) = f(0) \cdot f(y)$

وهنا نستخدم خاصية الصفر حيث $0 + y = y$ لنحصل على:

$f(y) = f(0) \cdot f(y)$

لنجعل هذه العلاقة صحيحة لجميع القيم، يجب أن يكون لدينا اختيارين:

1. إما $f(0) = 0$، حيث يكون الضرب بصفر يعطي نتيجة صفر.

2. إما $f(y) = 1$ لجميع القيم $y$، حيث يكون الضرب في الوحدة يعطي القيمة نفسها.

إذاً، القيم الممكنة لـ $f(0)$ هي 0 أو 1.

لحل هذه المسألة، دعونا نتفحص العلاقة $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ ونركز على حالة $y = 0$ للوصول إلى قيمة $f(0)$. سنقوم بتحليل الحالتين الممكنتين:

1. عندما $y = 0$:
   $f(x + 0) = f(x) \cdot f(0)$
   لكن $x + 0 = x$، لذلك:
   $f(x) = f(x) \cdot f(0)$
   يمكننا قسمة كلا الجانبين على $f(x)$ (بشرط $f(x) \neq 0$ لتجنب القسمة على صفر)، نحصل على:
   $1 = f(0)$

2. عندما $x = 0$:
   $f(0 + y) = f(0) \cdot f(y)$
   لكن $0 + y = y$، لذلك:
   $f(y) = f(0) \cdot f(y)$
   يمكننا أيضًا قسمة كلا الجانبين على $f(y)$ (بشرط $f(y) \neq 0$ لتجنب القسمة على صفر)، نحصل على:
   $1 = f(0)$

لذا، بغض النظر عن القيم الدقيقة لـ $f(x)$، نجد أن القيمة الوحيدة الممكنة لـ $f(0)$ هي 1.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب للدوال: $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$.
2. استخدام الخاصية $x + 0 = x$ و $0 + y = y$ لتبسيط المعادلات.
3. القسمة على القيم المختلفة للدالة للتوصل إلى نتائج معينة.