درجة المتعددين والجمع الحسابي (مسألة رياضيات)

إذا كانت درجة $f(z)$ هي 2 ودرجة $g(z)$ أقل من درجة $f(z)$، فما هي درجة $f(z) + g(z)$؟

الحل:
لنفترض أن $f(z)$ تمثل متعددًا ذو درجة 2، مما يعني أن أعلى قوة لـ $f(z)$ هي $z^2$. بينما يمثل $g(z)$ متعددًا آخر، ولكن درجته أقل من درجة $f(z)$.

إذاً، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يكون فيها مجموع $f(z) + g(z)$ هو إذا كانت $g(z)$ تمثل متعددًا ذو درجة أقل من $f(z)$، أي أن أعلى قوة لـ $g(z)$ هي أقل من $z^2$.

لنفترض أن درجة $g(z)$ هي 1، وهذا يعني أن أعلى قوة لـ $g(z)$ هي $z$.

عند جمع النواتج، سنحصل على متعدد $f(z) + g(z)$، وأعلى قوة فيه ستكون الأعلى بين درجتي $f(z)$ و $g(z)$.

ومن الواضح أن القوة الأعلى هي $z^2$ من $f(z)$.

لذلك، درجة $f(z) + g(z)$ ستكون مثل درجة $f(z)$، أي أن الإجابة هي 2.

لحل المسألة وتحديد درجة متعدد الجمع $f(z) + g(z)$ عندما يكون $f(z)$ متعددًا ذو درجة 2 و $g(z)$ متعددًا ذو درجة أقل من $f(z)$، نحتاج إلى فهم مفهوم الدرجة وقوانين الجمع للمتعددين.

قوانين الجمع والدرجات:

1. درجة المتعدد: تُعرف درجة المتعدد كأعلى قوة للمتغير في المتعدد. مثلا، إذا كان المتعدد $f(z)$ يحتوي على $z^2$ كأعلى قوة، فإن درجته هي 2.
2. الجمع للمتعددين: عند جمع متعددين، يتم جمع المصطلحات المتشابهة، ودرجة المتعدد الناتج يتم تحديدها استنادًا إلى أعلى درجة في المصطلحات المجمعة.

الآن، دعنا نحل المسألة:

1. بناءً على البيان، $f(z)$ هو متعدد ذو درجة 2، مما يعني أن أعلى قوة لـ $f(z)$ هي $z^2$.
2. $g(z)$ متعدد آخر، ولكنه ذو درجة أقل من $f(z)$، وهذا يعني أن أعلى قوة في $g(z)$ ستكون أقل من $z^2$.
3. لكي نحسب درجة $f(z) + g(z)$، نحتاج إلى معرفة القوة الأعلى بين $f(z)$ و $g(z)$.
4. منطقيًا، إذا كانت أعلى قوة في $f(z)$ هي $z^2$، وأعلى قوة في $g(z)$ هي أقل من $z^2$، فإن القوة الأعلى في المتعدد الناتج ستكون $z^2$.
5. لذلك، درجة $f(z) + g(z)$ ستكون مثل درجة $f(z)$، أي أن الإجابة هي 2.

بهذا الشكل، نستنتج أن درجة $f(z) + g(z)$ هي 2، وقوانين الجمع وتعريف درجات المتعددين قادتنا إلى هذا الاستنتاج.