درجة المتعددات الطرحية: الحالات المتغيرة (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $f(x)$ و $g(x)$ هما متعددات طرحية بدرجة $4$ و $X$ على التوالي. ما هو درجة $f(x^3) \cdot g(x^2)$؟ إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال السابق هي $22$، ما قيمة المتغير المجهول $X$؟

دعونا نقوم بتحليل المسألة:

درجة $f(x)$ هي $4$ ودرجة $g(x)$ هي $X$. عندما نقوم بتعويض $x^3$ بدلاً من $x$ في $f(x)$، نحصل على $f(x^3)$ الذي يكون متعددًا طرحيًا بدرجة $4 \times 3 = 12$ لأننا نقوم بتضاعف القوة في كل مرة.

بالمثل، عندما نعوض $x^2$ بدلاً من $x$ في $g(x)$، نحصل على $g(x^2)$ الذي يكون متعددًا طرحيًا بدرجة $X \times 2 = 2X$ لنفترض.

عندما نقوم بضرب $f(x^3) \cdot g(x^2)$، نجمع الأسس مما يعطينا $12 + 2X$ كدرجة للمتعدد الطرحي الناتج.

وفقًا للسؤال، نعلم أن الدرجة النهائية للمتعدد الطرحي هي $22$، لذا:

$12 + 2X = 22$

نحل المعادلة:

$2X = 22 – 12$
$2X = 10$
$X = 5$

إذاً، القيمة المجهولة $X$ هي $5$.

لحل المسألة، نستخدم القوانين الأساسية للجبر والتعامل مع الأعداد والمتعددات الطرحية.

1. درجة المتعدد الطرحي: إذا كان $f(x)$ متعدد طرحي بدرجة $m$ و $g(x)$ متعدد طرحي بدرجة $n$، فإن درجة حاصل الضرب $f(x) \cdot g(x)$ هي مجموع درجتي الاثنين، أي $m + n$.

2. تأثير التعويض بالقوة: عندما نقوم بتعويض $x$ بقوة، مثل $x^2$ أو $x^3$، في متعدد طرحي، يتضاعف مضاعف القوة درجة المتعدد الطرحي.

3. حل المعادلات الخطية: نستخدم القواعد الأساسية لحل المعادلات لتحديد القيم المجهولة.

تطبيقًا على المسألة:

نعرف أن $f(x)$ هو متعدد طرحي بدرجة $4$ و $g(x)$ هو متعدد طرحي بدرجة $X$.

عندما نقوم بتعويض $x^3$ بدلاً من $x$ في $f(x)$، فإن درجة $f(x^3)$ ستكون $4 \times 3 = 12$ بسبب تأثير التعويض بالقوة.

بالمثل، عندما نقوم بتعويض $x^2$ بدلاً من $x$ في $g(x)$، فإن درجة $g(x^2)$ ستكون $X \times 2 = 2X$.

عندما نقوم بضرب $f(x^3) \cdot g(x^2)$، نجمع الأسس مما يعطينا $12 + 2X$ كدرجة للمتعدد الطرحي الناتج.

وفقًا للمسألة، نعلم أن الدرجة النهائية للمتعدد الطرحي هي $22$.

نحل المعادلة $12 + 2X = 22$ للحصول على قيمة $X$.

بالقسمة على $2$ من الطرفين، نحصل على $2X = 10$ ثم $X = 5$.

إذاً، القيمة المجهولة $X$ هي $5$.