درجة الدالة الكسرية والخطوط الأفقية (مسألة رياضيات)

المطلوب: ما هو الدرجة الدنيا للـ $q(x)$ لتكون الدالة الكسرية $\frac{2x^6+3x^5 – x^2 – 1}{q(x)}$ لديها خط أفقي؟

الحل:
لدينا دالة كسرية تمثلها $\frac{2x^6+3x^5 – x^2 – 1}{q(x)}$. لها خط أفقي عندما تقترب قيمتها من قيمة ثابتة عندما يقترب $x$ إلى اللامتناهي.

نعرف أن الدرجة العلوية (أو الأعلى) في الـ $q(x)$ يجب أن تكون أقل من الدرجة العلوية في العداد. في هذه الحالة، الدرجة العلوية للعداد هي 6. لذا، $q(x)$ يجب أن تكون على الأقل درجتها 6.

لكن الشرط الأساسي لوجود خط أفقي هو أن يكون للعداد والمقام نفس الدرجة عند الأعلى. إذاً، $q(x)$ يجب أن تكون درجتها على الأقل 6 لتتماثل مع العداد في الدرجة.

بما أن الدرجة الأدنى التي يجب أن تكون عليها $q(x)$ هي 6، فإن الإجابة هي: الدرجة الدنيا لـ $q(x)$ لتكون الدالة الكسرية لها خط أفقي هي 6.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم الخصائص الأساسية للدوال الكسرية وشروط وجود الخطوط الأفقية.

1. شروط وجود الخطوط الأفقية:
   خطوط الأفقية في الدوال الكسرية تحدث عندما يكون الدرجة العليا للمقام مساوية للدرجة العليا للعداد. هذا يتيح لنا الاستنتاج بأن النموذج الرئيسي للخط الأفقي هو عندما يكون لدينا طرف متساوي في كل من العداد والمقام.

2. قوانين الحساب:

   • قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة للدوال الجبرية.
   • قانون درجة الدوال: في الدوال الكسرية، يتم تحديد درجة الدالة بالدرجة الأعلى للعداد أو المقام.

لنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

الدالة الكسرية المعطاة هي:
$\frac{2x^6+3x^5 – x^2 – 1}{q(x)}$

لدينا خط أفقي عندما يكون الدالة تقترب من قيمة ثابتة عندما $x$ يقترب إلى اللامتناهي. هذا يعني أن العداد والمقام يجب أن يكونا من نفس الدرجة عند الأعلى ليكون لدينا خط أفقي.

نظرًا لأن الدرجة العلوية للعداد هي 6 (أعلى قوة لـ $x$ في العداد)، فإن الدرجة العلوية للمقام يجب أن تكون أيضًا 6 ليتم إلغاء الأسس ويظل الناتج ثابتًا عند اللامتناهي.

لذا، $q(x)$ يجب أن تكون على الأقل درجتها 6، وهو الشرط الأساسي لوجود خط أفقي.

بالتالي، يتبين أن الدرجة الدنيا لـ $q(x)$ لتكون الدالة الكسرية لها خط أفقي هي 6.