حل نظام المعادلات بالجبر (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد قيمة $x^2 + y^2$ عندما تكون $(x, y)$ حلولاً للمعادلتين:

\begin{align*} xy &= 6, \\ x^2 y + xy^2 + x + y &= 63. \end{align*}

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة باللغة الرياضية.

لنفترض أن $(x, y)$ هي الأعداد التي تحقق المعادلات التالية:

\begin{align*} xy &= 6, \\ x^2 y + xy^2 + x + y &= 63. \end{align*}

الآن سنحل هذه المعادلات للعثور على $x$ و $y$ .

من المعادلة الأولى $xy = 6$ ، يمكننا حل ل $y$ بالنسبة لـ $x$ ، لذا $y = \frac{6}{x}$ .

نقوم بتعويض قيمة $y$ في المعادلة الثانية:

x^2 \left(\frac{6}{x}\right) + x\left(\frac{6}{x}\right)^2 + x + \frac{6}{x} = 63.

نقوم بتبسيط العبارة:

6x + \frac{36}{x} + x + \frac{6}{x} = 63.

الآن نقوم بتجميع الأعداد معًا:

7x + \frac{42}{x} = 63.

نقوم بضرب كل جانب من المعادلة في $x$ للتخلص من المقام:

7x^2 + 42 = 63x.

نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون في شكل قياسي:

7x^2 – 63x + 42 = 0.

نقوم بتبسيط المعادلة عن طريق قسمة كل جانب على 7:

x^2 – 9x + 6 = 0.

الآن نستخدم القانون الثاني للجبر لحساب قيم $x$ باستخدام العلاقة التالية:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.

بالتطبيق في هذه الحالة:

x = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}.

x = \frac{9 \pm \sqrt{81 – 24}}{2}.

x = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2}.

بالتالي، لدينا قيمتان محتملتان لـ $x$ .

الآن نستخدم هذه القيم في المعادلة الأولى $xy = 6$ لحساب القيم المقابلة لـ $y$ .

عند $x = \frac{9 + \sqrt{57}}{2}$ ، يكون:

y = \frac{6}{x} = \frac{6}{\frac{9 + \sqrt{57}}{2}} = \frac{12}{9 + \sqrt{57}}.

وعند $x = \frac{9 – \sqrt{57}}{2}$ ، يكون:

y = \frac{6}{x} = \frac{6}{\frac{9 – \sqrt{57}}{2}} = \frac{12}{9 – \sqrt{57}}.

وبالتالي، لدينا قيم محتملة لـ $y$ أيضًا.

الآن، نحتاج إلى حساب $x^2 + y^2$ باستخدام القيم المحتملة التي حصلنا عليها.

للقيمة الأولى $x = \frac{9 + \sqrt{57}}{2}$ و $y = \frac{12}{9 + \sqrt{57}}$ ، نحصل على:

x^2 + y^2 = \left(\frac{9 + \sqrt{57}}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{9 + \sqrt{57}}\right)^2.

وبنفس الطريقة، للقيمة الثانية $x = \frac{9 – \sqrt{57}}{2}$ و $y = \frac{12}{9 – \sqrt{57}}$ ، نحصل على:

x^2 + y^2 = \left(\frac{9 – \sqrt{57}}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{9 – \sqrt{57}}\right)^2.

يمكننا حساب هذه القيم بالتبسيط الجبري.

المزيد من المعلومات