حل معادلة نسبية بالجبر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “إيجاد قيمة $r$ في المعادلة التالية: $\frac{r+9}{r-3} = \frac{r-2}{r+5}$.”

لحل هذه المعادلة، نقوم بالخطوات التالية:

نبدأ بضرب الطرف الأيسر من المعادلة في $(r-3)(r+5)$ والطرف الأيمن في $(r-3)(r+5)$ لتخلص من المقامات في المعادلة وتبقى لنا معادلة خطية:

$(r+9)(r+5) = (r-2)(r-3)$

نقوم بفتح القوسين وتوزيع العوامل:

$r^2 + 5r + 9r + 45 = r^2 – 3r – 2r + 6$

نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة:

$r^2 + 14r + 45 = r^2 – 5r + 6$

نقوم بطرح $r^2$ من الجانبين للمعادلة للتخلص منه:

$14r + 45 = -5r + 6$

نقوم بجمع $5r$ للطرف الأيمن وطرح $45$ من الطرفين:

$14r + 5r = 6 – 45$

نحسب قيمة المتغير $r$:

$19r = -39$

نقسم الطرفين على $19$:

$r = -\frac{39}{19}$

إذاً، القيمة الحلقية للمعادلة هي $r = -\frac{39}{19}$.

لحل المعادلة $\frac{r+9}{r-3} = \frac{r-2}{r+5}$، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين في الجبر لحل المعادلات النسبية.

الخطوات والقوانين المستخدمة تشمل:

1. ضرب الطرفين في العدد الأصغر من المقامات: هذه الخطوة تساعد في التخلص من المقامات في المعادلة. في هذه المسألة، نقوم بضرب كل من الطرفين في $(r-3)(r+5)$.

2. توزيع العوامل والضرب في البولينوميال: بعد ضرب الطرفين في المعادلة بالمقامات المشتركة، نقوم بفتح القوسين وتوزيع العوامل على البولينوميال.

3. تجميع الأعضاء المتشابهة: نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة مثل الأعضاء الرئيسية والأعضاء الثابتة في المعادلة.

4. حل المعادلة الناتجة: بعد تجميع الأعضاء، نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على قيمة المتغير الذي نبحث عنه.

5. التحقق من الحل: يمكن التحقق من الحل النهائي عن طريق استبدال قيمة المتغير في المعادلة الأصلية والتأكد من تطابق الطرفين.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نحصل على الحل النهائي للمعادلة المعطاة، الذي هو $r = -\frac{39}{19}$، والذي يمثل قيمة المتغير التي تحقق المعادلة الأصلية.