حل معادلة من الدرجة الثانية: قيمة معامل $b$ (مسألة رياضيات)

إذا كان $-7$ أحد الحلول لمعادلة $x^2 + bx – 28 = 0$، فما قيمة $b$؟

لنستخدم خاصية الحلول لمعادلة من الدرجة الثانية. إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما الحلول لمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن مجموع الحلول يساوي $-\frac{b}{a}$ ومنتاج الحلول يساوي $\frac{c}{a}$.

نطبق هذا المبدأ على المعادلة $x^2 + bx – 28 = 0$:

الحلول: $x_1 = -7$ و $x_2 = ?$

مجموع الحلول: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{1}$

ومن المعلوم أن $x_1 + x_2 = -7 + x_2$.

وبالتالي: $-7 + x_2 = -\frac{b}{1}$

وهذا يعني أن $x_2 = -\frac{b}{1} + 7$.

الآن نستخدم العلاقة الثانية للحلول:

منتاج الحلول: $x_1 \times x_2 = \frac{-28}{1}$

نعوض في المعادلة: $-7 \times x_2 = -28$

نحصل على: $-7 \times (-\frac{b}{1} + 7) = -28$

ومن هنا نحل المعادلة للحصول على قيمة $b$:

$7b – 49 = -28$

نقوم بإعادة ترتيب المعادلة:

$7b = -28 + 49$

$7b = 21$

$b = \frac{21}{7}$

$b = 3$

إذاً، قيمة $b$ هي 3.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر وحل المعادلات. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. صيغة الحلول لمعادلة من الدرجة الثانية: في المعادلة العامة للدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، يمكن استخدام صيغة الحلول لتحديد قيم $x$ عن طريق العلاقة التالية:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

2. العلاقة بين معاملات المعادلة والحلول: إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما الحلول لمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن:

   • $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
   • $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$

3. استخدام الحل المعطى في المسألة: يتم استخدام الحل المعطى في المسألة لتحديد القيمة المفقودة من المعادلة.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

المعادلة المعطاة: $x^2 + bx – 28 = 0$

مع الحل الذي تم توفيره: $x_1 = -7$

من القانون رقم 2، يمكننا استخدام الحل المعطى لتحديد القيمة المفقودة ($b$) باستخدام العلاقة بين مجموع الحلول ومعامل $b$:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{1}$

ومن هنا نحصل على المعادلة: $-7 + x_2 = -b$

بما أن $x_2$ هو الحل الثاني للمعادلة، فإننا نعبر عنه بـ $x_2$.

الآن، استخدمنا الحقيقة الثانية في القانون 2 لتحديد القيمة المفقودة:
$x_1 \times x_2 = \frac{-28}{1}$
ومنها نعوض بقيم $x_1$ و $x_2$ للوصول إلى المعادلة:
$-7 \times x_2 = -28$

وبعد حل المعادلة السابقة، سنحصل على قيمة $x_2$.

بعد ذلك، باستخدام القانون الأول في العلاقة بين مجموع الحلول ومعامل $b$، نحسب قيمة $b$.

بهذه الطريقة، نستطيع تحديد قيمة $b$ والحصول على الإجابة النهائية.