حل معادلة مربعة معقدة في الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

نفترض أن $a$ و $b$ هم عددين صحيحين موجبين بحيث $(a-bi)^2 = 8-6i$. ما هو قيمة $a-bi$؟

لنبدأ بفك مربع $(a-bi)^2$ باستخدام القاعدة $(x-y)^2 = x^2 – 2xyi – y^2$:

نستبدل $i^2$ بقيمتها المعروفة $-1$:

ووفقاً للمعادلة التي أعطيت، يجب أن تكون هذه المقدار مساوية للعدد المعقد $8-6i$. لذا، يجب أن يكون جزء العدد الحقيقي متساوياً:

$a^2 – b^2 = 8$

وجزء العدد الخيالي يكون:

$-2ab = -6$

نحل المعادلتين بالتبادل. من المعادلة الثانية، يمكننا تعويض $a$ بالشكل $a = \frac{-6}{-2b}$ لنحصل على المعادلة التالية:

$(-6)^2 – b^2 = 8$

$36 – b^2 = 8$

$b^2 = 36 – 8 = 28$

$b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

الآن، من المعادلة الثانية $-2ab = -6$، نستخدم قيمة $b$ لحساب $a$:

$a = \frac{-6}{-2 \times 2\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

إذن، العدد $a-bi$ هو:

$a – bi = \frac{3\sqrt{7}}{7} – 2\sqrt{7}i$

في هذه المسألة، نحاول حل معادلة تحتوي على عددين مركبين $(a – bi)$، حيث يُطلب منا إيجاد قيمة هذا العدد عندما يرفع إلى الأس 2 ويتساوى بعدد معقد معروف.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. تعريف العدد المركب: العدد المركب يتكون من جزئين، جزء حقيقي وجزء خيالي، ويُمثل بصيغة $a + bi$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية و $i$ هو الوحدة الخيالية.

2. قوانين الأعداد المركبة:

   • جمع وطرح الأعداد المركبة: يتم جمع وطرح الجزء الحقيقي مع الحقيقي والخيالي مع الخيالي.
   • ضرب الأعداد المركبة: يتم ضرب الأعداد المركبة مثل الأعداد العادية مع مراعاة قاعدة $i^2 = -1$.
   • قوة الأعداد المركبة: يتم رفع العدد المركب إلى الأس بتطبيق قاعدة التوزيع على الجزءين الحقيقي والخيالي واستخدام قاعدة $i^2 = -1$.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع فك المعادلة المعطاة $(a-bi)^2 = 8-6i$ بتطبيق قاعدة فك المربع على الجزء المعقد. يتم هذا عن طريق تطبيق القاعدة التالية:

ثم استخدام القاعدة $i^2 = -1$ لتبسيط التعبير. بمجرد حل المعادلات المشتقة، يمكننا الحصول على القيم المطلوبة للأعداد $a$ و $b$.

باختصار، الحل يشتمل على استخدام القوانين الأساسية للأعداد المركبة مع فهم عميق للتبسيط والتعامل مع العمليات الحسابية على هذه الأعداد.