حل معادلة لوغاريتمية بخطوات مفصلة

إذا كانت المعادلة log 2 x – 5 log x + 6 = 0، فما هي قيمة (أو قيم) x؟

حل المعادلة:

نبدأ بتجميع المصفوفات المشتركة باستخدام قاعدة جمع وطرح اللوغاريتمات:

log 2 x – log x^5 + 6 = 0

ثم نقوم بتجميع المصفوفات المشتركة:

log 2 x – 5 log x + 6 = 0

نقوم الآن بتطبيق قاعدة اللوغاريتم لجمع اللوغاريتمات في حالة القوس، وهي log a – log b = log (a / b):

log (2x / x^5) + 6 = 0

نحل المعادلة الآن بعزل المتغير في اللوغاريتم:

log (2x / x^5) = -6

نستخدم الآن تعريف اللوغاريتم لحل المعادلة:

2x / x^5 = 10^-6

نقوم بإزالة المقام في الجهة اليمنى عن طريق رفع الأساس إلى العدد السالب:

2x = 10^-6 * x^5

نقسم الطرفين على x لتبسيط المعادلة:

2 = 10^-6 * x^4

نضرب الطرفين في 10^6 للتخلص من الأس السالب:

2 * 10^6 = x^4

نأخذ الجذر الرابع للطرفين للحصول على قيمة x:

x = ± (2 * 10^6)^(1/4)

تقسيم الناتج إلى القيمتين بناءً على الجذر الرابع يؤدي إلى:

x = ± 10

لذا، قيم x الممكنة هي 10 أو -10.

بالطبع، سنقوم بحل المعادلة log 2 x – 5 log x + 6 = 0 بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام القوانين الأساسية للوغاريتمات.

المعادلة المعطاة هي:

$\log_2(x) – 5\log(x) + 6 = 0$

لنقم بحلها:

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة جمع وطرح اللوغاريتمات:
   $\log_a(b) – \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$

2. تطبيق القاعدة الأسية:
   $a^{\log_a(x)} = x$

الخطوات:

1. تجميع المصفوفات:
   $\log_2(x) – 5\log(x) + 6 = 0$

2. استخدام قاعدة جمع وطرح اللوغاريتمات:
   $\log_2\left(\frac{x}{x^5}\right) + 6 = 0$

3. تحويل المعادلة:
   $\frac{x}{x^5} = 2^{-6}$

4. تبسيط المعادلة:
   $x^{(-4)} = 2^{-6}$

5. تطبيق القاعدة الأسية لتحويل الأس السالب:
   $x = \pm \sqrt[4]{2^{-6}}$

6. تبسيط الجذر الرابع:
   $x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2^6}}$

7. تبسيط الجذر:
   $x = \pm \frac{1}{2^{\frac{6}{4}}}$

   $x = \pm \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

   $x = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$

   $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

لذا، قيم x الممكنة هي $\frac{\sqrt{2}}{4}$ أو $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

ملحوظة:
تم استخدام قاعدة جمع وطرح اللوغاريتمات وقاعدة الأس في هذا الحل لتبسيط المعادلة والوصول إلى القيم الممكنة لـ x.