حل معادلة لوغاريتمية بأكثر من قاعدة (مسألة رياضيات)

المسألة:

تحديد قيمة $a$ التي تحقق المعادلة التالية:

$\frac{1}{\log_2{a}} + \frac{1}{\log_3{a}} + \frac{1}{\log_4{a}} = 1$

الحل:

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتوحيد المقامات في الجهة اليمنى للمعادلة. نبدأ بتوحيد المقامات بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل جهة في المعادلة، مستفيدين من خاصية التحويل بين اللوغاريتمات:

$\log_e{x} = \frac{\log_a{x}}{\log_a{e}}$

نحصل على:

$\frac{\ln{a}}{\ln{2}} + \frac{\ln{a}}{\ln{3}} + \frac{\ln{a}}{\ln{4}} = 1$

الآن، نقوم بجمع الكسور في الجهة اليمنى:

$\frac{\ln{a}(\ln{3}\ln{4} + \ln{2}\ln{4} + \ln{2}\ln{3})}{\ln{2}\ln{3}\ln{4}} = 1$

باستخدام خاصية جمع اللوغاريتمات:

$\frac{\ln{a}(\ln{2}\ln{3}\ln{4})}{\ln{2}\ln{3}\ln{4}} = 1$

نقوم بإلغاء اللوغاريتمات في الجهتين:

$\ln{a} = 1$

ثم نقوم بتحويلها إلى قاعدة اللوغاريتم العشري:

$a = 10$

إذاً، القيمة التي تحقق المعادلة هي $a = 10$.

بالطبع، سنقوم بحل المعادلة بشكل أكثر تفصيلاً مع ذكر القوانين المستخدمة في كل خطوة.

المعادلة المعطاة:

$\frac{1}{\log_2{a}} + \frac{1}{\log_3{a}} + \frac{1}{\log_4{a}} = 1$

الخطوة 1: توحيد المقامات

نقوم بتوحيد المقامات في الجهة اليمنى من المعادلة باستخدام اللوغاريتم الطبيعي. لاستخدام هذا القانون، نستخدم العلاقة:

$\log_e{x} = \frac{\log_a{x}}{\log_a{e}}$

تطبيقها على المعادلة:

$\frac{\ln{a}}{\ln{2}} + \frac{\ln{a}}{\ln{3}} + \frac{\ln{a}}{\ln{4}} = 1$

الخطوة 2: جمع الكسور في الجهة اليمنى

نقوم بجمع الكسور في الجهة اليمنى باستخدام الجمع المشترك للمقامات:

$\frac{\ln{a}(\ln{3}\ln{4} + \ln{2}\ln{4} + \ln{2}\ln{3})}{\ln{2}\ln{3}\ln{4}} = 1$

الخطوة 3: إلغاء اللوغاريتمات في الجهتين

نقوم بإلغاء اللوغاريتمات في الجهتين باستخدام خاصية إلغاء اللوغاريتم:

$\frac{\ln{a}(\ln{2}\ln{3}\ln{4})}{\ln{2}\ln{3}\ln{4}} = 1$

الخطوة 4: تبسيط التعبير

نقوم بتبسيط التعبير بإلغاء مشتركات في الجهة اليمنى:

$\ln{a} = 1$

الخطوة 5: تحويل إلى قاعدة اللوغاريتم العشري

نقوم بتحويل المعادلة إلى قاعدة اللوغاريتم العشري باستخدام العلاقة:

$\log_{10}{a} = 1$

الخطوة 6: حل المعادلة

نحل المعادلة للحصول على قيمة $a$:

$a = 10$

القوانين المستخدمة:

1. قانون توحيد المقامات باستخدام لوغاريتم الطبيعي.
2. قانون جمع اللوغاريتمات في جهة واحدة.
3. قانون إلغاء اللوغاريتمات.
4. قانون إلغاء المشتركات في الكسور.
5. قانون تبسيط التعبير.
6. قانون تحويل اللوغاريتم إلى قاعدة أخرى.