حل معادلة كوسينية بالجبر (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير التالي:
$\left( 1 + \cos \frac {\pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {3 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {5 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$

مع العلم أن الناتج المطلوب يساوي 8. نحتاج إلى معرفة قيمة المتغير $X$.

لنبدأ بتفكيك التعبير. يعتمد الحل على استخدام الهوية التالية:
$\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2} \left( \cos(a+b) + \cos(a-b) \right)$

باستخدام هذه الهوية، يمكننا تفكيك التعبير بالتالي:

$\left( 1 + \cos \frac {\pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {3 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {5 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 + \cos \frac {\pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {7 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 + \frac{1}{2}\left( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{8} – \frac{7\pi}{8}\right)\right) \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 + \frac{1}{2}\left( \cos\pi + \cos\left(\frac{\pi}{8} – \frac{7\pi}{8}\right)\right) \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 + \frac{1}{2}\left( -1 + \cos\left(\frac{\pi}{8} – \frac{7\pi}{8}\right)\right) \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 + \frac{1}{2}\left( -1 + \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 + \frac{1}{2}\left( -1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}\right) \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$
$= \left( 1 – \frac{\sqrt{2}}{4} \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right)$

الآن، نقارن هذا مع الناتج المطلوب الذي هو 8:

$\left( 1 – \frac{\sqrt{2}}{4} \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right) = 8$

نقوم بحساب حاصل ضرب العاملين ونجد قيمة $X$. لكن قبل ذلك، نقوم بتوحيد العبارة:

$1 + \cos \frac {X \pi}{8} = \frac{8}{1 – \frac{\sqrt{2}}{4}}$

الآن، نقوم بحساب قيمة $X$:

$\cos \frac {X \pi}{8} = \frac{8}{1 – \frac{\sqrt{2}}{4}} – 1$

$\frac {X \pi}{8} = \arccos \left( \frac{8}{1 – \frac{\sqrt{2}}{4}} – 1 \right)$

$X = 8 \times \frac{8}{\pi} \arccos \left( \frac{8}{1 – \frac{\sqrt{2}}{4}} – 1 \right)$

باستخدام القيم المعروفة، يمكن حساب $X$ بالطريقة المذكورة أعلاه.

لحل المسألة وحساب قيمة المتغير $X$ في التعبير
$\left( 1 + \cos \frac {\pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {3 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {5 \pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac {X \pi}{8} \right) = 8$

سنحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية، بما في ذلك:

1. هوية جمع الزوايا للكوساين:
   $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)$
   هذه الهوية تساعدنا في فتح التعبيرات الكوسينية للزوايا المختلفة.

2. معادلة القوس والجيب:
   $\cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$
   تساعد هذه المعادلة في حساب قيم الزوايا بناءً على النسب بين طولين مختلفين في مثلث قائم الزاوية.

3. قواعد التقسيم والضرب والجمع للكوسين:
   تستخدم هذه القواعد لتفكيك التعبيرات الكوسينية وتبسيطها.

الآن، سنقوم بخطوات الحل:

أولاً، سنقوم بفتح التعبير باستخدام الهوية الكوسينية لجمع الزوايا:
$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)$

بعد ذلك، سنستخدم هذه الهوية لتفكيك التعبير وتبسيطه بالتدرج حتى نصل إلى تعبير يسهل حساب قيمة $X$ من خلاله.

أخيرًا، سنستخدم القوانين الأساسية للجبر والحساب لحل المعادلة النهائية وايجاد قيمة $X$ التي تجعل حاصل الضرب مساويًا لـ 8.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة، يمكننا إيجاد القيمة الصحيحة للمتغير $X$ في التعبير المعطى.