حل معادلة كوبية باستخدام فييتا (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يتم تحديد جذورها هي $x^3 – x^2 + x – 2 = 0$، ولنفترض أن $p$ و $q$ و $r$ هم جذور هذه المعادلة.

نريد حساب القيمة التي تمثل مجموع مكعبات هذه الجذور، أي $p^3 + q^3 + r^3$.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام تمثيل تكامل المكعب الذي يعتمد على معادلة فييتا. تذكيرًا، إذا كانت $p$ و $q$ و $r$ هي جذور معادلة كوبية بالشكل $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$، فإن:

$p+q+r = -\frac{b}{a}$
$pq + qr + pr = \frac{c}{a}$
$pqr = -\frac{d}{a}$

في حالتنا، المعادلة هي $x^3 – x^2 + x – 2 = 0$، لذا يمكننا استخدام العلاقات أعلاه لحساب $p+q+r$ و $pq + qr + pr$ و $pqr$.

لنقم بحسابها:
$p+q+r = 1$
$pq + qr + pr = 1$
$pqr = 2$

الآن، نحتاج إلى حساب $p^3 + q^3 + r^3$ والذي يتم بواسطة العلاقة:
$p^3 + q^3 + r^3 = (p+q+r)(p^2 + q^2 + r^2 – pq – qr – pr) + 3pqr$

ونستخدم القيم التي حسبناها سابقًا:
$p^3 + q^3 + r^3 = (1)((p+q+r)^2 – (pq + qr + pr)) + 3(2)$

نعوض القيم:
$p^3 + q^3 + r^3 = (1)((1)^2 – (1)) + 3(2)$

الآن نقوم بحساب القيم:
$p^3 + q^3 + r^3 = (1)(0) + 6 = 6$

إذاً، قيمة التعبير $p^3 + q^3 + r^3$ هي 6.

بالطبع، سنقوم الآن بتوسيع الشرح لحل المسألة بمزيد من التفاصيل، وسنراجع القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

لنبدأ بالمعادلة الكوبية المعطاة: $x^3 – x^2 + x – 2 = 0$.

لتسهيل الحسابات، سنقوم بترتيب المعادلة بحيث يكون معامل $x^3$ إيجابيًا. نقوم بضرب المعادلة في -1:

$-(x^3 – x^2 + x – 2) = 0$

$x^3 + x^2 – x + 2 = 0$

المعادلة الكوبية الجديدة هي $x^3 + x^2 – x + 2 = 0$، ونفترض أن $p$ و $q$ و $r$ هم جذور هذه المعادلة.

الآن سنستخدم قوانين فييتا للتعبير عن مجموع الجذور ومجموع حاصل ضرب الجذور ومجموع تكعيب الجذور:

$p+q+r = -\frac{b}{a} = -1$
$pq + qr + pr = \frac{c}{a} = 1$
$pqr = -\frac{d}{a} = -2$

حيث $a = 1$، $b = 1$، $c = -1$، و $d = 2$ في المعادلة الجديدة.

الآن، سنحسب $p^3 + q^3 + r^3$ باستخدام العلاقة:

$p^3 + q^3 + r^3 = (p+q+r)(p^2 + q^2 + r^2 – pq – qr – pr) + 3pqr$

سنستخدم القيم التي حسبناها سابقًا:

$p^3 + q^3 + r^3 = (-1)((p+q+r)^2 – (pq + qr + pr)) + 3(-2)$

نعوض القيم:

$p^3 + q^3 + r^3 = (-1)((-1)^2 – (1)) – 6$

نقوم بحساب القيم:

$p^3 + q^3 + r^3 = (-1)(0) – 6 = -6$

إذاً، قيمة التعبير $p^3 + q^3 + r^3$ هي -6.

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين فييتا للمعادلات الكوبية. تلك القوانين تعتمد على علاقات بين معاملات المعادلة ومجموعات الجذور، وهي كما يلي:

1. $p+q+r = -\frac{b}{a}$
2. $pq + qr + pr = \frac{c}{a}$
3. $pqr = -\frac{d}{a}$

ثم تم استخدام هذه القيم في تعبير $p^3 + q^3 + r^3$ باستخدام الصيغة المعروفة:

$p^3 + q^3 + r^3 = (p+q+r)(p^2 + q^2 + r^2 – pq – qr – pr) + 3pqr$

وبهذا يكون قد تم حل المسألة بالكامل.