مسائل رياضيات

حل معادلة كسرية باستخدام الجبر (مسألة رياضيات)

الكسر الأصلي هو xx+7\frac{x}{x + 7}، حيث يكون مقامه أكبر من البسط بمقدار 7.

عند زيادة البسط والمقام بمقدار 4، يكون الكسر الجديد هو x+4x+11\frac{x + 4}{x + 11}، وهو يساوي 56\frac{5}{6}.

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في المقام المشترك للكسرين ( (x+7)(x+11)(x + 7)(x + 11) ):

6(x+4)(x+11)=5(x+7)(x+11)6(x + 4)(x + 11) = 5(x + 7)(x + 11)

بعد ضرب وتبسيط الجهتين، نحصل على معادلة من الدرجة الثانية. لحلها، يمكن استخدام الطريقة المعتادة لحساب الجذور:

6x2+90x+264=5x2+90x+3856x^2 + 90x + 264 = 5x^2 + 90x + 385

بطرح جميع المصطلحات من الطرفين:

x2x121=0x^2 – x – 121 = 0

الآن يمكننا استخدام الصيغة العامة لحساب الجذور:

x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث a=1a = 1 و b=1b = -1 و c=121c = -121.

باستخدام هذه القيم في الصيغة، نحسب الجذور ونجد أن إجابتين:

x=1+4852x = \frac{1 + \sqrt{485}}{2} أو x=14852x = \frac{1 – \sqrt{485}}{2}

لكن لا يمكن أن يكون البسط سالبًا، لذلك نستبعد القيمة الثانية.

إذًا، قيمة الكسر الأصلي هي 1+4852+485\frac{1 + \sqrt{485}}{2 + \sqrt{485}}.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة المطروحة، سنقوم باتباع خطوات محددة باستخدام الجبر والرياضيات. سنستخدم القوانين والتقنيات التالية:

  1. تعريف الكسر:
    نفترض أن الكسر الأصلي هو xx+7\frac{x}{x + 7}، حيث يكون المقام أكبر من البسط بمقدار 7.

  2. زيادة البسط والمقام بمقدار 4:
    نضيف 4 إلى البسط والمقام للحصول على الكسر الجديد x+4x+11\frac{x + 4}{x + 11}.

  3. كتابة المعادلة:
    نقوم بكتابة المعادلة التي تعبر عن العلاقة بين الكسرين:
    6(x+4)(x+11)=5(x+7)(x+11)6(x + 4)(x + 11) = 5(x + 7)(x + 11)

  4. ضرب الطرفين في المقام المشترك:
    نقوم بضرب الطرفين في المقام المشترك للكسرين لتبسيط المعادلة.

  5. تبسيط المعادلة:
    نقوم بفتح الأقواس وتبسيط الجهتين اليمنى واليسرى للمعادلة.

  6. الحصول على معادلة من الدرجة الثانية:
    نقوم بجمع المصطلحات المماثلة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية.

  7. حل المعادلة:
    نحل المعادلة باستخدام الصيغة العامة للجذر التي تعتمد على قاعدة الجذر التربيعي.

  8. استبعاد الحلول غير الممكنة:
    نستبعد القيمة السالبة لأن البسط لا يمكن أن يكون سالبًا في هذا السياق.

  9. تحديد قيمة الكسر الأصلي:
    نستخدم القيمة المحسوبة لـ xx لتحديد قيمة الكسر الأصلي.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نكون قد حللنا المسألة بشكل متكامل وحصلنا على القيمة النهائية للكسر الأصلي.