مسائل رياضيات

حل معادلة رياضية معقدة بخطوات واضحة

اخر تحديث 03/12/2023
0

نعطيك تعبيرًا رياضيًا ونطلب منك حساب قيمة تعبير آخر. المعادلة المعطاة هي:

pq−qp=2110\frac{p}{q} – \frac{q}{p} = \frac{21}{10}

مواضيع ذات صلة

الآن، نريد حساب قيمة التعبير التالي:

4(pq)+4(qp)4\left(\frac{p}{q}\right) + 4\left(\frac{q}{p}\right)

لحل هذه المعادلة، نبدأ بحساب قيمة pq−qp\frac{p}{q} – \frac{q}{p} والتي تعتبر معطاة في المعادلة الأولى:

pq−qp=2110\frac{p}{q} – \frac{q}{p} = \frac{21}{10}

الآن، للعثور على قيمة pq\frac{p}{q}، نجمع qp\frac{q}{p} من الطرفين:

pq=2110+qp\frac{p}{q} = \frac{21}{10} + \frac{q}{p}

نضرب كلا الطرفين في pp للتخلص من المقام في الكسر:

p=21p10+qp = \frac{21p}{10} + q

نطرح 21p10\frac{21p}{10} من الطرفين:

p−21p10=qp – \frac{21p}{10} = q

نجمع الكسور:

10p−21p10=q\frac{10p – 21p}{10} = q

نبسط الكسر:

−11p10=q-\frac{11p}{10} = q

نضرب في -1 لتبسيط القيمة:

11p10=−q\frac{11p}{10} = -q

الآن، لدينا قيمة pq\frac{p}{q} وهي 11p10\frac{11p}{10}. لنعود إلى التعبير الأصلي:

4(pq)+4(qp)4\left(\frac{p}{q}\right) + 4\left(\frac{q}{p}\right)

نستبدل قيمة pq\frac{p}{q} بـ 11p10\frac{11p}{10} ونحسب:

4(11p10)+4(−qp)4\left(\frac{11p}{10}\right) + 4\left(-\frac{q}{p}\right)

نبسط الكسور:

44p10−4qp\frac{44p}{10} – \frac{4q}{p}

نحسب قيمة كل جزء:

22p5−4qp\frac{22p}{5} – \frac{4q}{p}

وهذه هي قيمة التعبير المطلوبة.

المزيد من المعلومات

لنقم بحل المعادلة المعطاة:

pq−qp=2110\frac{p}{q} – \frac{q}{p} = \frac{21}{10}

للقيام بذلك، يمكننا استخدام قانون ضرب الكسور في بعض الأحيان، وكذلك قانون جمع وطرح الكسور.

  1. جمع الكسور:

    نقوم بجمع الكسرين pq\frac{p}{q} و −qp-\frac{q}{p} باستخدام قاعدة جمع الكسور. لجمع الكسور، نحتاج إلى نفس المقام، لذلك نجمع:

    pq−qp=p2−q2pq\frac{p}{q} – \frac{q}{p} = \frac{p^2 – q^2}{pq}

  2. حل المعادلة:

    الآن نقوم بحل المعادلة الناتجة:

    p2−q2pq=2110\frac{p^2 – q^2}{pq} = \frac{21}{10}

    نقوم بضرب الطرفين في 10pq للتخلص من المقام في الكسر:

    10(p2−q2)=21pq10(p^2 – q^2) = 21pq

    نقوم بفتح القوس وترتيب الأعضاء:

    10p2−10q2=21pq10p^2 – 10q^2 = 21pq

    نقوم بجمع جميع الأعضاء على جهة واحدة:

    10p2−21pq−10q2=010p^2 – 21pq – 10q^2 = 0

    الآن، لدينا معادلة من الدرجة الثانية. يمكننا حلها باستخدام العديد من الطرق، مثل العوامل المشتركة أو القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

    10p2−21pq−10q2=(2p−5q)(5p+2q)=010p^2 – 21pq – 10q^2 = (2p – 5q)(5p + 2q) = 0

    يعني ذلك أن إحدى الحلول هي 2p−5q=02p – 5q = 0 أو 5p+2q=05p + 2q = 0.

  3. حساب قيمة 4pq+4qp\frac{4p}{q} + \frac{4q}{p}:

    نعود إلى التعبير الأصلي:

    4(pq)+4(qp)4\left(\frac{p}{q}\right) + 4\left(\frac{q}{p}\right)

    نستخدم قيمة pq\frac{p}{q} من المعادلة الأولى، وهي 11p10\frac{11p}{10}:

    4(11p10)+4(−qp)4\left(\frac{11p}{10}\right) + 4\left(-\frac{q}{p}\right)

    نبسط الكسور:

    44p10−4qp\frac{44p}{10} – \frac{4q}{p}

    نحسب قيمة كل جزء:

    22p5−4qp\frac{22p}{5} – \frac{4q}{p}

    وهذه هي قيمة التعبير المطلوبة.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون جمع وطرح الكسور:
    ab−cd=ad−bcbd\frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{ad – bc}{bd}

  2. ضرب الكسور:
    ab⋅cd=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

  3. حل المعادلة من الدرجة الثانية:
    لحل المعادلة ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0، يمكن استخدام العوامل المشتركة أو القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

    x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

    أو بتفكيك العاملين وتحديد القيم الممكنة للمتغيرات.

اخر تحديث 03/12/2023
0