حل معادلة رياضية: مجموع الحلول 12

من فضلك، ها هي المعاد صياغة المسألة الرياضية:

المطلوب هو إيجاد مجموع جميع الحلول الممكنة للمعادلة التالية: | x – 3 | ^ 2 + | x – 3 | = 12

الآن، دعونا نقوم بحساب الحلول:

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتحليلها حسب الحالات المختلفة لقيمة (x – 3). لنقم بذلك:

الحالة 1: عندما (x – 3) >= 0

في هذه الحالة، المعادلة تصبح: (x – 3) ^ 2 + (x – 3) = 12

نقوم بتوسيع العبارة: (x – 3) ^ 2 + x – 3 = 12

نضيف 3 للطرفين: (x – 3) ^ 2 + x = 15

الحالة 2: عندما (x – 3) < 0

في هذه الحالة، المعادلة تصبح: (-(x – 3)) ^ 2 + (-(x – 3)) = 12

نقوم بتوسيع العبارة: (x – 3) ^ 2 – (x – 3) = 12

نجمع (x – 3) للطرف الأيمن: (x – 3) ^ 2 = 12 + (x – 3)

نقوم بتوسيع العبارة: (x – 3) ^ 2 = x + 9

نضيف 3 للطرفين: (x – 3) ^ 2 + 3 = x + 12

الآن، لنجد الحلول نقوم بحساب جذر المعادلة التربيعية الناتجة في كل حالة.

للحالة الأولى: (x – 3) ^ 2 + x = 15
نقوم بحساب الجذرين ونضيفهما إلى 3:
x = 3 + sqrt(12) أو x = 3 – sqrt(12)

للحالة الثانية: (x – 3) ^ 2 + 3 = x + 12
نقوم بحساب الجذرين ونضيفهما إلى 3:
x = 3 + sqrt(6) أو x = 3 – sqrt(6)

الآن، لدينا أربعة حلول ممكنة للمعادلة الأصلية. لنجد مجموعها، نقوم بجمع القيم الأربعة:

مجموع الحلول = 3 + sqrt(12) + 3 – sqrt(12) + 3 + sqrt(6) + 3 – sqrt(6)

الآن نقوم بتبسيط العبارة:

مجموع الحلول = 12

إذا كان مجموع جميع الحلول الممكنة للمعادلة هو 12.

بالطبع، دعوني أقدم لك توضيحاً أكثر حول كيفية حل المعادلة والقوانين المستخدمة.

المعادلة المعطاة هي: $|x – 3|^2 + |x – 3| = 12$

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتحليلها بحسب الحالات المختلفة لقيمة $x – 3$. يُلاحظ أن $|a|^2 = a^2$ و $|a| = \sqrt{a^2}$. لذا، يمكننا تعبير المعادلة بشكل مختصر عند تحليل الحالتين.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حل المعادلة التربيعية: لحل المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$, يمكن استخدام الصيغة التالية للجذرين: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

2. قانون استخدام قاعدة القوة للأعداد السالبة: $|a|^n = a^n$ عندما يكون $n$ عددًا زوجيًا.

3. قانون استخدام قاعدة الجذر للأعداد: $\sqrt{a^2} = |a|$.

الآن، لنبدأ في حساب الحلول:

الحالة 1: $x – 3 \geq 0$ (أو $|x – 3| = x – 3$)

نقوم بتوسيع المعادلة:
$(x – 3)^2 + (x – 3) = 12$

نحل المعادلة الناتجة باستخدام قانون حل المعادلة التربيعية. نحصل على جذرين:
$x_1 = 3 + \sqrt{12} \quad \text{و} \quad x_2 = 3 – \sqrt{12}$

الحالة 2: $x – 3 < 0$ (أو $|x – 3| = -(x – 3)$)

نقوم بتوسيع المعادلة:
$-(x – 3)^2 + (x – 3) = 12$

نحل المعادلة الناتجة باستخدام قانون حل المعادلة التربيعية. نحصل على جذرين آخرين:
$x_3 = 3 + \sqrt{6} \quad \text{و} \quad x_4 = 3 – \sqrt{6}$

الآن، لنجد مجموع الحلول:
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = (3 + \sqrt{12}) + (3 – \sqrt{12}) + (3 + \sqrt{6}) + (3 – \sqrt{6})$

نقوم بإلغاء الجذور المتشابهة، ونجد أن مجموع الحلول يكون:
$12$

هذه هي التفاصيل الكاملة لحل المسألة مع استخدام القوانين المعروضة أعلاه.