حل معادلة رياضية: تفاصيل المتبقية المربعة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $9x^2 + 24x + a$ متبقية تربيعية كاملة، فإننا نعلم أنها يمكن أن تُكتَب على شكل $(3x + b)^2$، حيث $b$ هو عامل النصف (coefficient) للمتغير $x$.

لحساب $b$، نقوم بمقارنة المعاملات المماثلة في النموذجين. في حالتنا:

$(3x + b)^2 = 9x^2 + 6bx + b^2$

نقارن معامل $x$:

$6bx = 24x$

من هنا، نجد أن $b = 4$. الآن، نعود إلى المعادلة الأصلية:

$9x^2 + 24x + a = (3x + 4)^2$

نواجه معامل الثابت $a$، وهو معامل المربع الكامل $(3x + 4)^2$:

$a = 4^2 = 16$

إذاً، قيمة الثابت $a$ هي 16.

لنقم بحل هذه المسألة بتفصيل أكثر ونستخدم بعض القوانين والأساسيات في الجبر. المعطيات الأولية هي معادلة الثنائي المربع الكامل:

$9x^2 + 24x + a$

نعلم أن المتبقية هي مربع كامل، ولذلك يمكن كتابتها على النحو التالي:

$(3x + b)^2$

حيث $b$ هو عامل النصف (coefficient) للمتغير $x$. لنواجه معامل $x$ في المعادلتين ونقارن بينهما:

$6bx = 24x$

هنا يمكننا إلقاء نظرة على القاعدة التي تقول: “لو كانت $ax^2 + bx + c$ متبقية مربعة كاملة، فإن عامل النصف لـ $x$ هو $\frac{b}{2a}$.”

في حالتنا:

$b = \frac{24}{6} = 4$

الآن، بمعرفتنا لقيمة $b$، يمكننا كتابة المعادلة الكاملة بشكل متبقية مربعة:

$(3x + 4)^2$

لنحسب $a$، ننظر إلى معامل الثابت في هذه المتبقية المربعة:

$a = 4^2 = 16$

إذًا، قد استخدمنا قاعدة الفارق التام والقانون الذي يرتبط بعامل النصف في المتبقية المربعة.