مسائل رياضيات

حل معادلة رياضية بالجذور والأسس (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 13/03/2024
0

المسألة الرياضية المعطاة هي: “حل المعادلة $\sqrt{Q^3} = 16\sqrt[8]{16}$ للعثور على قيمة $Q$.”

لحل هذه المعادلة، سنبدأ بتربيع الطرفين للتخلص من الجذر في الجهة اليسرى:

مواضيع ذات صلة
(Q3)2=(16168)2(\sqrt{Q^3})^2 = (16\sqrt[8]{16})^2

وهذا يعني:

Q3=162×(16)14Q^3 = 16^2 \times (16)^{\frac{1}{4}}

حيث أنه بما أن الجذر الثامن لـ $16$ يمكن تمثيله كقوة بنسبة $\frac{1}{8}$، وبالتالي:

Q3=162×1614=162×1618×1618=16168+14=16174Q^3 = 16^2 \times 16^{\frac{1}{4}} = 16^2 \times 16^{\frac{1}{8}} \times 16^{\frac{1}{8}} = 16^{\frac{16}{8}+\frac{1}{4}} = 16^{\frac{17}{4}}

الآن، لحل المعادلة، نريد أن نجعل الطرف الأيمن والطرف الأيسر متساويين. ولذلك، نحتاج إلى جعل الأسس متساوية. لذلك، يجب أن نكتب $16$ بنفس الأس الذي يمثل الجذر الثالث:

Q3=(24)174=24×174=217Q^3 = (2^4)^{\frac{17}{4}} = 2^{4 \times \frac{17}{4}} = 2^{17}

الآن، يمكننا إيجاد قيمة $Q$ بجذر الجذر الثالث لـ $2^{17}$:

Q=2173=2173=2×253=2×(213)5=2×253=2×323=2×2=4Q = \sqrt[3]{2^{17}} = 2^{\frac{17}{3}} = 2 \times 2^{\frac{5}{3}} = 2 \times (2^{\frac{1}{3}})^5 = 2 \times \sqrt[3]{2^5} = 2 \times \sqrt[3]{32} = 2 \times 2 = 4

إذاً، القيمة الحل هي $Q = 4$.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعوني أوضح الخطوات بالتفصيل وأذكر القوانين المستخدمة في الحل:

  1. تربيع الطرفين: نبدأ بتربيع الطرفين للتخلص من الجذر في الجهة اليسرى للمعادلة. هذا يعتمد على قاعدة الجذور التي تقول إذا كان $\sqrt{a} = b$، فإن $a = b^2$.

  2. تبسيط الأسس: بعد تربيع الطرفين، نحاول تبسيط الأسس في الجهة اليمنى من المعادلة. في هذه الحالة، استخدمنا قاعدة أسس الأسس التي تقول إذا كان $a^{m \times n} = (a^m)^n$.

  3. جعل الأسس متساوية: بعد التبسيط، نحتاج إلى جعل الأسس متساوية لإيجاد القيمة المطلوبة. هنا استخدمنا قاعدة المساواة في الأسس، حيث إذا كانت $a^m = a^n$، فإن $m = n$.

  4. تحويل الأس إلى جذر: بعد أن جعلنا الأسس متساوية، نقوم بتحويل الأس إلى جذر للعثور على قيمة $Q$.

  5. استخدام القاعدة للأس: في هذه الحالة، كان الأس $3$ لذلك استخدمنا قاعدة الأس التي تقول إذا كان $a^{\frac{1}{n}}$، فإنه يمكن كتابته على شكل جذر $n$ للعدد $a$.

  6. حساب القيمة النهائية: بعد تحويل الأس إلى جذر وحساب القيمة، نحصل على القيمة النهائية لـ $Q$.

بهذه الخطوات واستخدام القوانين المناسبة، يتمكن المرء من حل المسألة الرياضية بطريقة دقيقة وفعّالة.

اخر تحديث 13/03/2024
0