حل معادلة رياضية بالتحويلات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

$\sqrt[4]{x} = \frac{12}{7 – \sqrt[4]{x}}$

الحل:

لحل هذه المعادلة، نقوم بالخطوات التالية:

نضع $y = \sqrt[4]{x}$ لتحويل المعادلة إلى معادلة خطية.

بالتالي، المعادلة تصبح:

$y = \frac{12}{7 – y}$

نضرب الطرفين في $7 – y$ للتخلص من المقام في الناحية اليمنى.

$y(7 – y) = 12$

$7y – y^2 = 12$

نقوم بترتيب المعادلة بتجميع الأعضاء المتشابهة في الجهة اليسرى:

$y^2 – 7y + 12 = 0$

نقوم بحل المعادلة التربيعية. نلاحظ أن هذه المعادلة يمكن حلها بسهولة باستخدام العوامل:

$(y – 3)(y – 4) = 0$

من هنا، يتبين أن الحلين للمعادلة الأصلية هما $y = 3$ أو $y = 4$.

الآن، نستعيد قيم $x$ باستخدام $y = \sqrt[4]{x}$:

إذاً:

$\sqrt[4]{x} = 3$

$x = 3^4 = 81$

أو

$\sqrt[4]{x} = 4$

$x = 4^4 = 256$

لذا، الحلول للمعادلة الأصلية هي $x = 81$ و $x = 256$.

بالطبع، لنلقي نظرة أعمق على حل هذه المعادلة الرياضية والقوانين التي نستخدمها في العملية.

المعادلة الأصلية هي:

$\sqrt[4]{x} = \frac{12}{7 – \sqrt[4]{x}}$

لنبدأ بالقوانين التي سنستخدمها:

1. قانون تحويل المتغيرات: نقوم بتعريف متغير جديد لتبسيط المعادلة وجعلها أكثر قابلية للحل. في هذه الحالة، نعرف $y = \sqrt[4]{x}$.

2. قوانين العمليات الأساسية للجبر: سنستخدم قواعد الجبر الأساسية مثل قانون الضرب والقوى لحل وتبسيط المعادلة.

3. قوانين حل المعادلات التربيعية: سنقوم بتحويل المعادلة إلى معادلة تربيعية للعثور على الحلول.

الآن، سنبدأ في الحل:

1. نعوض $y = \sqrt[4]{x}$ في المعادلة الأصلية، فتصبح المعادلة:

$y = \frac{12}{7 – y}$

2. نقوم بضرب الطرفين في $7 – y$ للتخلص من المقام في الناحية اليمنى:

$y(7 – y) = 12$

3. نقوم بتوسيع المعادلة وترتيبها:

$7y – y^2 = 12$

$y^2 – 7y + 12 = 0$

4. نقوم بحل المعادلة التربيعية باستخدام العوامل:

$(y – 3)(y – 4) = 0$

من هنا، يتبين أن الحلين للمعادلة الأصلية هما $y = 3$ أو $y = 4$.

5. الآن، نستعيد قيم $x$ باستخدام $y = \sqrt[4]{x}$:

   • إذاً، عند $y = 3$:

   $\sqrt[4]{x} = 3$

   $x = 3^4 = 81$

   • أو، عند $y = 4$:

   $\sqrt[4]{x} = 4$

   $x = 4^4 = 256$

وهكذا، نكون قد حللنا المعادلة بنجاح باستخدام القوانين المذكورة أعلاه.