حل معادلة رياضية باستخدام قوانين الأسس (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد إيجاد قيمة $p$ في المعادلة التالية:

$12^3 = \frac{9^2}{3} \cdot 2^{12p}$

حل المسألة:

لنقم بحل المعادلة خطوة بخطوة.

أولاً، لنحسب قيمة الأعداد على الجانب الأيسر من المعادلة:
$12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728$

ثانياً، لنحسب القيمة على الجانب الأيمن من المعادلة:
$\frac{9^2}{3} = \frac{81}{3} = 27$

ثالثاً، نرى أننا نحتاج إلى حساب قيمة $2^{12p}$، وهنا يمكننا استخدام القاعدة التالية: $a^{mn} = (a^m)^n$.
بالتالي، يمكننا كتابة $2^{12p}$ كـ $(2^{12})^p$.
ونعلم أن $2^{12} = 4096$ (حيث أن $2^{10} = 1024$ و $2^2 = 4$ ونتائج الضرب تعطي 4096).

إذاً، يصبح المعادلة:
$1728 = 27 \times 4096^p$

الآن، نحن نريد قيمة $p$، لذا يمكننا تجاوز الخطوات التالية لحساب قيمته.

نقوم بتقسيم الطرف الأيمن على 27:
$4096^p = \frac{1728}{27} = 64$

الآن نريد حل $p$، لذا نستخدم قاعدة الأسس:
$4096^p = (2^{12})^p = 2^{12p}$
وهذا يعني أنه عندما يكون $p = 1$، فإن القيمتين تكون متساويتين.
إذاً، $12p = 6$ لأن $2^6 = 64$.

وبالتالي:
$p = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

إذاً، قيمة $p$ في المعادلة هي $\frac{1}{2}$.

في حل المسألة، استخدمنا عدة قوانين وخطوات للتوصل إلى قيمة $p$ في المعادلة $12^3 = \frac{9^2}{3} \cdot 2^{12p}$، وهي كالتالي:

1. قانون قوى الأعداد: قوانين قوى الأعداد تساعدنا في التعامل مع الأسس والتراكيب الأسية. على سبيل المثال، لدينا قاعدة تقول إن $a^{mn} = (a^m)^n$.

2. حساب الأعداد: في البداية، قمنا بحساب قيمة الأعداد على كل جانب من المعادلة. لقد حسبنا $12^3$ و $\frac{9^2}{3}$ لنستخدمهم في المعادلة.

3. التبسيط الجبري: قمنا بتبسيط المعادلة بعد الحصول على القيم الرقمية للأعداد.

4. حل المعادلة الأسية: نقلنا العناصر الأسية لجهة واحدة من المعادلة لحساب قيمة $p$، مما أدى إلى إنشاء معادلة جديدة تحتوي على قوة مجهولة $p$.

5. استخدام القاعدة المتبعة لحساب الأسس: نحتاج إلى استخدام القاعدة التي تقول إن $a^{mn} = (a^m)^n$ لحساب قيمة $p$ بناءً على القوة الموجودة.

6. حساب القيمة النهائية: بعد التبسيط واستخدام القاعدة المذكورة، قمنا بحساب قيمة $p$ وتوصلنا إلى الإجابة النهائية.

بهذه الخطوات والقوانين، تمكنا من حل المسألة وتحديد قيمة $p$ بشكل صحيح.