حل معادلة رياضية بأساليب التبسيط (مسألة رياضيات)

المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي $(5x)^4 = (10x)^3$. لحل هذه المعادلة، سنقوم بتبسيط الأسس على الطرفين.

نبدأ برفع كل طرف من المعادلة إلى الأس الرابع:
$(5x)^4 = (10x)^3$

عند رفع الأس الرابع، نحصل على:
$5^4 \cdot x^4 = 10^3 \cdot x^3$

نحسب القيم:
$625x^4 = 1000x^3$

الآن، نقوم بترتيب المعادلة بطرح $1000x^3$ من الطرفين:
$625x^4 – 1000x^3 = 0$

الآن نستطيع أن نأخذ عاملًا مشتركًا وهو $125x^3$:
$125x^3(5x – 8) = 0$

هذه المعادلة تصبح صحيحة إما عندما $125x^3 = 0$ أو عندما $(5x – 8) = 0$.

في الحالة الأولى، إذا كانت $125x^3 = 0$، فإن القيمة الوحيدة التي تحقق ذلك هي $x = 0$.

في الحالة الثانية، إذا كان $(5x – 8) = 0$، فإننا نحل لـ $x$:
$5x – 8 = 0$
$5x = 8$
$x = \frac{8}{5}$

إذا كانت القيمة الوحيدة لـ $x$ هي $\frac{8}{5}$، وبالتالي يكون الحل للمعادلة الأصلية هو $x = \frac{8}{5}$.

بالطبع، سنقوم الآن بتوسيع وتوضيح الخطوات المتبعة لحل المعادلة $(5x)^4 = (10x)^3$ والقوانين المستخدمة في الحل.

1. بداية التبسيط:
   نبدأ بتوسيع الأسين على الطرفين:
   $(5x)^4 = (10x)^3$

   وهنا نستخدم قاعدة أس الضرب التي تقول أن $(a^m)^n = a^{mn}$ حيث $a$ هو الأساس و$m$ و $n$ هما الأس والمربع، على التوالي.

   $5^{4} \cdot x^{4} = 10^{3} \cdot x^{3}$

2. الحسابات:
   نقوم بحساب الأسين وضرب الأعداد:
   $625 \cdot x^{4} = 1000 \cdot x^{3}$

3. ترتيب المعادلة:
   نقوم بجمع الطرفين وترتيب المعادلة:
   $625x^{4} – 1000x^{3} = 0$

4. تحليل المعادلة:
   نقوم بتحليل المعادلة وملاحظة أنه يمكن استخراج عامل مشترك وهو $125x^{3}$:
   $125x^{3} (5x – 8) = 0$

5. حل المعادلة:

   • عندما $125x^{3} = 0$، نحصل على $x = 0$ كحلاً.
   • عندما $(5x – 8) = 0$، نقوم بحساب قيمة $x$:
     $5x = 8 \implies x = \frac{8}{5}$

6. الحلاحقًا:
   يمكننا التحقق من الحلول عن طريق إعادة إدخالها في المعادلة الأصلية:

   • لحل $x = 0$، نحصل على $(5 \cdot 0)^4 = (10 \cdot 0)^3$ وهو صحيح.
   • لحل $x = \frac{8}{5}$، نحصل على $(5 \cdot \frac{8}{5})^4 = (10 \cdot \frac{8}{5})^3$ وهو أيضاً صحيح.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة أس الضرب: $(a^m)^n = a^{mn}$
• توسيع وتبسيط الأسين.
• ترتيب المعادلة وجمع الأعداد المماثلة.
• استخدام عامل مشترك لتبسيط المعادلة.
• حل المعادلات الناتجة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تمكنا من حل المعادلة بنجاح والتحقق من صحة الحلول.