حل معادلة رباعية بتحديد قيمة m (مسألة رياضيات)

المعادلة التي نريد حلها هي:
$(x + 4)(x + 1) = m + 2x$

نريد أن نجد قيمة $m$ التي تجعل هذه المعادلة لديها حلاً واحدًا فقط. لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام خصائص الدوال الرياضية والجبر.

أولاً، لنفك الضرب في الجهة اليسرى من المعادلة:
$x^2 + 5x + 4 = m + 2x$

ثم نقوم بتجميع المصطلحات وترتيب المعادلة:
$x^2 + (5 – 2)x + 4 – m = 0$

الآن، نحتاج إلى معرفة شرط وجود حل واحد فقط لهذه المعادلة. وهو عندما تكون قيمة التمام (الديسكريمينانت) مساوية لصفر. لذلك، يجب أن نقوم بحساب التمام:
$\Delta = b^2 – 4ac$
حيث $a = 1$، $b = 5 – 2 = 3$، و $c = 4 – m$.

نقوم بحساب التمام:
$\Delta = (3)^2 – 4(1)(4 – m)$
$\Delta = 9 – 4(4 – m)$
$\Delta = 9 – 16 + 4m$
$\Delta = -7 + 4m$

الآن نضع الشرط بأن يكون التمام مساوياً لصفر للحصول على حل واحد فقط:
$-7 + 4m = 0$

نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $m$:
$4m = 7$
$m = \frac{7}{4}$

لذا، القيمة التي تجعل المعادلة لديها حلاً واحدًا هي $m = \frac{7}{4}$.

لحل المسألة التي تتعلق بإيجاد قيمة $m$ التي تجعل المعادلة $(x + 4)(x + 1) = m + 2x$ لديها حلاً واحدًا، نحتاج إلى استخدام بعض الخواص والقوانين الجبرية.

1. قانون توزيع الضرب على الجمع:
   نستخدم قانون توزيع الضرب لفك الضرب في الجهة اليسرى من المعادلة $(x + 4)(x + 1)$، والذي ينص على أنه عند ضرب مجموع بمقطع أو عدة مقاطع، يتم ضرب كل مقطع بالعدد الآخر ومن ثم جمع الناتج.

2. قوانين الجبر لترتيب المعادلات:
   بعد فك الضرب، نقوم بترتيب المعادلة بحيث نضع كل المصطلحات على الجانب الأيسر ونجمعها بشكل مناسب.

3. الشرط لوجود حل واحد للمعادلة الرباعية:
   نستخدم خاصية التمام (الدلتا)، حيث إذا كانت قيمة التمام (الدلتا) مساوية لصفر، فإن المعادلة الرباعية تمتلك حلاً واحدًا فقط. هذا يأتي من الحقيقة الجبرية بأن معادلة من الدرجة الثانية تمتلك حلاً واحدًا إذا كان التمام يساوي صفر.

4. حل المعادلة الرباعية:
   باستخدام قاعدة الجذر التربيعي، نحسب قيمة التمام (الدلتا)، ومن ثم نستخدم القاعدة العامة لحل المعادلة الرباعية للعثور على قيمة $m$ التي تجعل التمام يساوي صفر.

باستخدام هذه القوانين والخواص، نستطيع حل المسألة وتحديد قيمة $m$ بحيث تجعل المعادلة لديها حلاً واحدًا فقط.