حل معادلة رباعية بالجبر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نحتاج إلى حساب مجموع جميع الجذور للمعادلة التالية:

الحل:

للبدء، سنقوم بفتح الأقواس وجمع المصفوفتين:

الآن سنقوم بجمع العبارات المماثلة معاً:

الآن، سنقوم بحل المعادلة السابقة باستخدام الطريقة المعتادة لحساب الجذور، والتي تعتمد على القوانين الأساسية للجبر:

أولاً، سنستخدم القاعدة الشهيرة المعروفة بالمعادلة الس quadratics والتي تأخذ الشكل التالي: $ax^2 + bx + c = 0$

حيث $a = 6$، $b = -8$، و $c = -12$.

الآن، سنستخدم الصيغة التالية لحساب الجذرين:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

باستخدام هذه الصيغة، سنقوم بحساب القيمتين ل $x$.

أولاً، سنحسب المعادلة تحت الجذر: $b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4 \times 6 \times (-12) = 64 + 288 = 352$

ثانياً، سنحسب الجذر التربيعي لهذا المعادلة: $\sqrt{{352}} \approx 18.77$

بالتالي، يصبح لدينا قيمتان لل $x$:

$x_1 = \frac{{-(-8) + 18.77}}{{2 \times 6}} = \frac{{8 + 18.77}}{{12}} \approx \frac{{26.77}}{{12}} \approx 2.23$

$x_2 = \frac{{-(-8) – 18.77}}{{2 \times 6}} = \frac{{8 – 18.77}}{{12}} \approx \frac{{-10.77}}{{12}} \approx -0.90$

الآن، بعد أن حصلنا على الجذور $x_1$ و $x_2$، سنقوم بجمعهما معًا للحصول على مجموع الجذور:

$x_1 + x_2 \approx 2.23 – 0.90 \approx 1.33$

إذاً، مجموع جميع الجذور للمعادلة الأصلية هو حوالي 1.33.

لحل المسألة التي تتعلق بحساب مجموع الجذور للمعادلة $(2x+3)(x-4) + (2x+3)(x-6) = 0$، سنقوم بالخطوات التالية بشكل مفصل:

1. فتح الأقواس:
   نبدأ بفتح الأقواس وضرب كل عبارة في العبارات الكلية:

   $$(2x^2 – 8x + 3x – 12) + (2x^2 – 6x + 3x – 18) = 0$$

2. تجميع المصطلحات المماثلة:
   نجمع معاً المصطلحات المتشابهة:

   $$(4x^2 + 2x^2) + (-8x – 6x + 3x + 3x) – 12 – 18 = 0$$

3. تبسيط المعادلة:
   بعد تجميع المصطلحات المماثلة، نحصل على المعادلة التالية:

   $$6x^2 – 8x – 12 = 0$$

4. حل المعادلة الرباعية:
   لحل المعادلة، نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذور للمعادلات الرباعية: $ax^2 + bx + c = 0$
   حيث $a = 6$، $b = -8$، و $c = -12$.

   نستخدم الصيغة التالية لحساب الجذرين:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

   نقوم بحساب الجذرين كما يلي:
   أولاً، نحسب المعادلة تحت الجذر: $b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4 \times 6 \times (-12) = 64 + 288 = 352$
   ثانياً، نحسب الجذر التربيعي للمعادلة: $\sqrt{{352}} \approx 18.77$

   بعد ذلك، نستخدم الصيغة للحصول على قيمتي $x$:
   $x_1 = \frac{{-(-8) + 18.77}}{{2 \times 6}} \approx 2.23$
   $x_2 = \frac{{-(-8) – 18.77}}{{2 \times 6}} \approx -0.90$

5. حساب مجموع الجذور:
   لحساب مجموع الجذور، نقوم بجمع القيمتين $x_1$ و $x_2$:
   $x_1 + x_2 \approx 2.23 – 0.90 \approx 1.33$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

• قاعدة توزيع الضرب على الجمع.
• قاعدة تجميع المصطلحات المماثلة.
• قاعدة حل المعادلات الرباعية.
• صيغة حساب الجذور للمعادلة الرباعية.

هذه القوانين تشكل الأساس في حل المسائل الرياضية المعقدة وتساعد في تبسيط العمليات الحسابية والوصول إلى الحل بطريقة دقيقة ومنطقية.