حل معادلة درجية باستخدام الجذور (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية هي $2x^2 – 5x – 4 = X$، ويمكن كتابة جذورها بالشكل التالي: $x = \frac{m \pm \sqrt{n}}{p}$، حيث $m$ و $p$ و $n$ هي أعداد صحيحة إيجابية، وأكبر مشترك لها هو 1. السؤال يطلب قيمة $n$.

إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي 57، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ تكون كالتالي:

لحل المسألة، نحتاج أولاً إلى حساب قيمة $n$. وفقًا للسؤال، إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي 57، فإننا نعلم أن $n = 57$.

الآن، نستخدم هذه القيمة في تحديد الجذور من المعادلة. المعادلة هي $2x^2 – 5x – 4 = X$، ونريد كتابة الجذور في الشكل المطلوب: $x = \frac{m \pm \sqrt{n}}{p}$.

نستخدم قاعدة الجذر التربيعي، ونلاحظ أن $n = 57$، لذا $\sqrt{n} = \sqrt{57}$.

الآن، نكتب الجذور باستخدام الشكل المطلوب:
$x = \frac{5 + \sqrt{57}}{4}$
$x = \frac{5 – \sqrt{57}}{4}$

إذا كانت الإجابة على السؤال هي 57، فإن القيمة المجهولة $X$ تكون مساوية للفرق بين الجذرين:
$X = \left(\frac{5 + \sqrt{57}}{4}\right) – \left(\frac{5 – \sqrt{57}}{4}\right)$

لحساب هذه القيمة، نقوم بإجراء العمليات الحسابية المناسبة:
$X = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} – \frac{5 – \sqrt{57}}{4}$

$X = \frac{5 + \sqrt{57} – (5 – \sqrt{57})}{4}$

$X = \frac{5 + \sqrt{57} – 5 + \sqrt{57}}{4}$

$X = \frac{2\sqrt{57}}{4}$

$X = \frac{\sqrt{57}}{2}$

إذا كانت الإجابة على السؤال الأصلي هي 57، فإن القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي $\frac{\sqrt{57}}{2}$.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتطبيق بعض القوانين والمفاهيم الرياضية. دعونا نعيد صياغة المسألة ونبدأ الحل:

المعادلة الرياضية هي:
$2x^2 – 5x – 4 = X$

نريد كتابة الجذور في الشكل المطلوب: $x = \frac{m \pm \sqrt{n}}{p}$ حيث $m$ و $p$ و $n$ هي أعداد صحيحة إيجابية، وأكبر مشترك لها هو 1.

الجذور تأخذ الشكل:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$

حيث $n = 57$ ونستخدم القاعدة الرياضية التالية:

1. قاعدة الجذر التربيعي:
   إذا كان $x = \sqrt{a}$، فإن $x^2 = a$.

باستخدام قاعدة الجذر التربيعي، نعلم أن:
$(\sqrt{57})^2 = 57$

الآن، لنحسب قيمة المتغير المجهول $X$:
$X = \left(\frac{5 + \sqrt{57}}{4}\right) – \left(\frac{5 – \sqrt{57}}{4}\right)$

2. قاعدة الجمع والطرح:
   إذا كانت $a = \frac{m}{p}$ و $b = \frac{n}{q}$، فإن $a \pm b = \frac{mq \pm np}{pq}$.

نقوم بتطبيق هذه القاعدة لحساب $X$:
$X = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} – \frac{5 – \sqrt{57}}{4}$

$X = \frac{(5 + \sqrt{57}) – (5 – \sqrt{57})}{4}$

3. إلغاء الأقواس:
   إذا كان $a – b = 0$، فإن $a = b$.

نستخدم هذه القاعدة لإلغاء الأقواس:
$X = \frac{2\sqrt{57}}{4}$

$X = \frac{\sqrt{57}}{2}$

لذا، إذا كانت الإجابة على السؤال الأصلي هي $n = 57$، فإن القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي:
$X = \frac{\sqrt{57}}{2}$

قوانين الرياضيات المستخدمة:

1. قاعدة الجذر التربيعي: $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$.
2. قاعدة الجمع والطرح: $a \pm b = \frac{ma \pm nb}{pq}$.
3. إلغاء الأقواس: $a – b = 0$ يعني $a = b$.

تمثل هذه القوانين الأساسية في الجبر الخطي وتستخدم لتبسيط التعابير الرياضية وحل المعادلات.