حل معادلة دائرية وتحديد المركز (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي $x^2 + y^2 = -2x – 10y – 16$، ونريد معرفة قيمة $x + y$ عندما يكون النقطة $(x، y)$ هي مركز الدائرة. لحل هذه المسألة، يمكننا القيام ببعض الخطوات الرياضية.

أولاً، لنقم بتكميل الكلّ، يمكننا جمع المصطلحين المتشابهين في الجهة اليسرى من المعادلة:

$x^2 + 2x + y^2 + 10y = -16$

ثم، لنقم بإضافة رقم ثابت على الجهتين:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 = -16 + 1 + 25$

الآن، يمكننا كتابة المعادلة بشكل مرتب وكامل:

$(x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 10$

وبهذا، يمكننا تحديد أن مركز الدائرة هو $(-1, -5)$.

القيمة المطلوبة هي $x + y$، لذا:

$(-1) + (-5) = -6$

إذاً، قيمة $x + y$ تكون -6.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتحويل المعادلة المربعية إلى صيغة قياسية لدائرة ومن ثم تحديد مركز الدائرة ونرى كيف يمكننا استخدام هذه المعلومات للوصول إلى القيمة المطلوبة لـ $x + y$.

المعادلة المعطاة هي:
$x^2 + y^2 = -2x – 10y – 16$

لتحويلها إلى صيغة دائرة، نقوم بإكمال المربع للجزء الخاص بـ $x$ والجزء الخاص بـ $y$ على حدة. نضيف $1$ إلى كل جزء منها:

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 10y + 25) = -16 + 1 + 25$

الآن يمكننا كتابة المعادلة كتابة مرتبة وكاملة:
$(x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 10$

نلاحظ أن المعادلة الجديدة تأخذ صيغة الدائرة القياسية $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، حيث $(h, k)$ هي مركز الدائرة، و $r$ هو نصف قطرها.

من المعادلة، نستنتج أن مركز الدائرة هو $(-1, -5)$ ونصف قطرها هو $\sqrt{10}$. الآن يمكننا حساب قيمة $x + y$ ببساطة:

$x + y = (-1) + (-5) = -6$

القوانين المستخدمة هي:

1. إكمال المربع: تقنية تستخدم لتحويل معادلة رباعية إلى صيغة مربعية مثلى.
2. صيغة دائرة القياسية: تمثل $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ دائرة في الفضاء الكارتيسي حيث $(h, k)$ هي مركز الدائرة و $r$ هو نصف قطرها.
3. حساب قيمة $x + y$: عملية بسيطة لجمع قيم $x$ و $y$ للنقطة المعطاة كمركز للدائرة.