حل معادلة ثلاثية بجذور معقدة (مسألة رياضيات)

لنكتب المعادلة التي يحددها السؤال:
$x^3 + ax + b = 0$

ووفقًا للبيانات المعطاة، فإن أحد الجذور هو $1 + i\sqrt{3}$. هذا يعني أن لدينا جذرا معقدًا متوافقًا مع هذه القيمة.

الجذر الآخر من المعادلة الثلاثية معروف بكونه المرافق المعقد للجذر $1 + i\sqrt{3}$، وذلك بحسب خواص الجذور المرافقة في العمليات الجبرية.

من ذلك، فإن لدينا جذرين معقدين متوافقين هما $1 – i\sqrt{3}$ و$1 + i\sqrt{3}$. لأن المعادلة لديها عوامل معقدة متوافقة، فإن الجذر الثالث يكون حقيقيًا.

بما أن المعادلة ذات درجة 3 ولدينا جذرًا معقدين متوافقين، فإن الجذر الثالث يجب أن يكون حقيقيًا وعلى الأرجح يكون هو المحدد بالسؤال $1 + i\sqrt{3}$ هو الجذر الحقيقي.

الآن، بما أن الجذر $1 + i\sqrt{3}$ هو جذر للمعادلة، يجب أن يكون العامل الخطي متوافقًا مع هذا الجذر. بمعنى آخر، إذا استبدلنا $x$ بقيمة الجذر في المعادلة، يجب أن يساوي الناتج صفرًا.

لذا، نحصل على:
$(1 + i\sqrt{3})^3 + a(1 + i\sqrt{3}) + b = 0$

لنحسب هذا التعبير:
$(1 + i\sqrt{3})^3 = (1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})$

باستخدام قاعدة القوى:
$= (1 + 2i\sqrt{3} – 3)(1 + i\sqrt{3})$
$= (-2 + 2i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})$
$= -2 – 6i^2$
$= -2 + 6 = 4$

الآن نواصل بوضع القيم في المعادلة:
$4 + a(1 + i\sqrt{3}) + b = 0$

مع النظر إلى أن المعادلة الأصلية تمتلك جذراً حقيقياً، يجب أن يكون الجزء الخطي متوافقًا مع الجذر الحقيقي.

ومن المعلومات المعطاة في السؤال أن الجذر $1 + i\sqrt{3}$ يكون من ضمن الحلول، وبالتالي يجب أن تكون الجزء الخطي $a(1 + i\sqrt{3})$ متوافقًا مع الجذر الحقيقي $1$.

لذا، نحصل على:
$a(1 + i\sqrt{3}) = -4$
$a + ai\sqrt{3} = -4$

من المقارنة بين الأجزاء الحقيقية، يجب أن يكون $a = -4$.

الآن، للحصول على قيمة $b$، نستخدم الحقيقة التي تقول إن مجموع الجذور لأي معادلة ثلاثية يساوي السالب من النسبة بين العوامل الثانوية والأولية. في هذه الحالة، يكون مجموع الجذور هو $1 + i\sqrt{3} + 1 – i\sqrt{3} + 1 = 3$.

وبما أن المعادلة الأصلية تمتلك جذرًا حقيقيًا، فإن الجذر الثالث يجب أن يكون حقيقيًا. لذا، مجموع الجذور يجب أن يكون متوافقًا مع الجذر الحقيقي $1$.

من هذه المعلومات، نحصل على:
$a + b = -3$

إذاً، نعرف الآن قيمة $a$ و$a + b$. بمجرد حساب قيمة $a$، يمكننا استخدامها للعثور على قيمة $b$. لذا، نجمع القيمتين:
$a + b = -3$
$-4 + b = -3$
$b = -3 + 4 = 1$

إذاً، قيمة $b$ تساوي 1.

لذا، نتوصل إلى أن $a = -4$ و $b = 1$.

وبالتالي، $a + b = -4 + 1 = -3$.

في هذه المسألة، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الجبرية لحل المعادلة الثلاثية وتحديد قيم $a$ و$b$.

1. معادلة الجذور: تقول أن المجموع والمنتج والمجموع الثنائي للجذور الثلاثة لأي معادلة ثلاثية يساوي السالب من النسبة بين العوامل الثانوية والأولية.

2. قاعدة القوى للأعداد المعقدة: نستخدم هذه القاعدة لرفع الجذر $1 + i\sqrt{3}$ إلى القوة الثالثة.

3. الجذور المرافقة: في عمليات جبرية، إذا كان لدينا جذر معقد مثل $a + bi$ فإن جذره المرافق هو $a – bi$.

4. المساوات الخطية: نستخدم المساوات الخطية لتحديد قيمة $a$ و$b$ عند استخدام الجذور المعطاة في المعادلة الأصلية.

5. المجموع والفرق للأعداد المعقدة: نستخدم الخصائص الجبرية للأعداد المعقدة لتحديد الأجزاء الحقيقية والخيالية من الجذور.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع التعبير عن المعادلة الثلاثية، واستخدام الجذور المعطاة لتحديد قيم $a$ و$b$ وفقًا للمعطيات المعطاة في السؤال. الحل يتضمن استخدام هذه الخطوات بشكل دقيق وتفصيلي للتوصل إلى القيم النهائية لـ $a$ و $b$.