حل معادلة ثانوية وتحديد القيم غير المعرفة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
العثور على حاصل ضرب جميع القيم التي تجعل التعبير $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-3}$ غير معرف.

الحل:
للتعبير $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-3}$ أن نكون غير معرف، يجب أن يكون المقام مساوياً للصفر. لذا، نجد القيم التي تجعل المقام يساوي الصفر.

نبدأ بحل المقام:
$x^2 + 2x – 3 = 0$

نستخدم العملية الحسابية المعتادة لحل المعادلات الثانوية، نستخدم هنا الطريقة التمثيلية للعثور على الجذور:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 1, b = 2, c = -3$

من ذلك، نحسب قيم $b^2 – 4ac$:
$b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$

ثم نستخدم الجذر التربيعي للحصول على قيمة $\sqrt{16} = 4$.

الآن، نستخدم الجذر لحساب القيم النهائية ل $x$:
$x = \frac{-2 \pm 4}{2 \times 1}$

هنا نحسب قيم $x$ المحتملة:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-2 – 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

لذا، قيم $x$ التي تجعل التعبير غير معرفة هي $x = 1$ و $x = -3$.

الآن، للعثور على حاصل الضرب لجميع القيم، نقوم بالضرب البسيط:
$1 \times (-3) = -3$

إذاً، حاصل الضرب لجميع القيم التي تجعل التعبير غير معرف هو $-3$.

لحل المسألة والعثور على القيم التي تجعل التعبير $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-3}$ غير معرف، سنستخدم القوانين والمفاهيم الرياضية التالية:

1. التعبيرات الجبرية:

   • نستخدم قوانين الجبر مثل قاعدة الضرب وقاعدة القسمة لتبسيط التعابير الجبرية والعمليات الحسابية عليها.

2. المعادلات الثانوية:

   • نستخدم خوارزمية حل المعادلة الثانوية لحساب الجذور الحقيقية للمعادلة.

الآن، دعنا نحل المسألة بتفصيل أكبر:

نريد أولاً أن نعرف القيم التي تجعل المقام في التعبير $\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x-3}$ يساوي صفر، لأنه عندما يكون المقام يساوي صفر، يصبح التعبير غير معرف.

لذا، نقوم بحل المعادلة التالية:
$x^2 + 2x – 3 = 0$

هذه معادلة من الدرجة الثانية، ونحتاج إلى حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$, $b = 2$, و $c = -3$.

نحسب قيمة $b^2 – 4ac$:
$b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$

ثم نستخدم الجذر التربيعي للحصول على قيمة $\sqrt{16} = 4$.

الآن، نحسب القيم النهائية ل $x$:
$x = \frac{-2 \pm 4}{2 \times 1}$

نحسب القيم المحتملة لـ $x$:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-2 – 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

لذا، القيم التي تجعل التعبير $\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x-3}$ غير معرفة هي $x = 1$ و $x = -3$.

للعثور على حاصل الضرب لجميع القيم، نقوم بالضرب البسيط:
$1 \times (-3) = -3$

إذاً، حاصل الضرب لجميع القيم التي تجعل التعبير غير معرف هو $-3$.

هذا هو الحل الكامل للمسألة، حيث تم استخدام القوانين الجبرية وحل المعادلات الثانوية لإيجاد الإجابة المطلوبة.