حل معادلة ثانوية بحل واحد (مسألة رياضيات)

المطلوب: إيجاد قيمة موجبة لـ $n$ بحيث تكون المعادلة $9x^2 + nx + 1 = 0$ لها حلاً واحداً فقط في $x$.

حل المسألة:
للعثور على الحل، نحتاج إلى مراجعة شروط حدوث حل واحد لمعادلة من هذا النوع. يعتمد ذلك على الجذور (الحلول) التي يمكن أن تأخذها المعادلة الثانوية $ax^2 + bx + c = 0$.

تذكر أن عدد الحلول يعتمد على قيمة الجذر التحت الجذري في التعبير $b^2 – 4ac$. إذا كانت هذه القيمة تساوي صفرًا، فإن المعادلة تمتلك جذرًا واحدًا. وبما أننا نبحث عن حل واحد فقط، فإننا نريد أن يكون هذا التعبير مساوياً للصفر.

لذلك، نحصل على:

$b^2 – 4ac = 0$

للمعادلة $9x^2 + nx + 1 = 0$، فإن $a = 9$، $b = n$، و $c = 1$. بالتالي، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:

$n^2 – 4 \times 9 \times 1 = 0$
$n^2 – 36 = 0$

للعثور على الحل، نقوم بحل المعادلة الرباعية:

$n^2 = 36$
$n = \pm 6$

ومن المعروف أن $n$ يجب أن يكون موجبًا لأننا نبحث عن القيمة الموجبة لـ $n$، لذا يتبقى لدينا:

$n = 6$

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $n$ التي تجعل المعادلة $9x^2 + nx + 1 = 0$ لها حلاً واحدًا هي $n = 6$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة الإيجابية لـ $n$ التي تجعل المعادلة $9x^2 + nx + 1 = 0$ لها حلاً واحدًا، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية لحل المعادلات الثانوية وشروط حدوث الحل الواحد.

القوانين المستخدمة:

1. معادلة الجذر التربيعي: لمعادلة ثانوية بصيغة $ax^2 + bx + c = 0$، يمكن استخدام معادلة الجذر التربيعي لحساب الجذور: $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$.
2. شرط الحل الواحد: إذا كانت معادلة ثانوية $ax^2 + bx + c = 0$ لها حل واحد، فإن قيمة التعبير $b^2 – 4ac$ يجب أن تكون تساوي صفرًا.

الآن، لحساب القيمة المطلوبة لـ $n$، نستخدم شرط الحل الواحد. في هذه المسألة، لدينا المعادلة $9x^2 + nx + 1 = 0$، حيث $a = 9$، $b = n$، و $c = 1$.

نستخدم شرط الحل الواحد:
$b^2 – 4ac = 0$
$n^2 – 4 \times 9 \times 1 = 0$
$n^2 – 36 = 0$

الآن، نحل المعادلة الرباعية:
$n^2 = 36$
$n = \pm \sqrt{36}$
$n = \pm 6$

من بين القيم الممكنة، نحتاج إلى اختيار القيمة الإيجابية لـ $n$، لأننا نبحث عن الحل الواحد. لذا، $n = 6$ هي القيمة التي تجعل المعادلة $9x^2 + 6x + 1 = 0$ لها حلًا واحدًا في $x$.

باختصار، القوانين المستخدمة في الحل هي معادلة الجذر التربيعي وشرط الحل الواحد للمعادلات الثانوية. باستخدام هذه القوانين، نمكن من تحديد القيمة المطلوبة لـ $n$ بشكل دقيق وموثوق.