حل معادلة تربيعية معقدة: تحليل وحسابات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي حل معادلة معقدة، حيث نريد إيجاد قيمة x التي تحقق المعادلة:

$2^{x^2 – 3x – 2} = 4^{x – 4}$

لنقم بإعادة صياغة المعادلة بشكل متساوٍ من القوى:

$2^{x^2 – 3x – 2} = (2^2)^{x – 4}$

الآن يمكننا تبسيط القوى:

$2^{x^2 – 3x – 2} = 2^{2(x – 4)}$

من المعادلة السابقة، نلاحظ أن الأساس لديه نفس القاعدة، لذا يجب أن تكون الأسس متساوية:

$x^2 – 3x – 2 = 2(x – 4)$

الآن سنقوم بحساب المعادلة السابقة:

$x^2 – 3x – 2 = 2x – 8$
$x^2 – 3x – 2x + 8 + 2 = 0$
$x^2 – 5x + 10 = 0$

الآن نحتاج إلى حل المعادلة من خلال القانون العام لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث a = 1, b = -5, و c = 10. بعد حساب القيم، نحصل على:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \times 1 \times 10}}{2 \times 1}$
$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 40}}{2}$
$x = \frac{5 \pm \sqrt{-15}}{2}$

لا يوجد جذر حقيقي للعدد السالب تحت الجذر. وبالتالي، لا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة.

بما أنه لا يوجد حل للمعادلة، فإن المجموع الكلي لقيم x التي تحقق المعادلة هو 0.

لحل المسألة المعطاة، نبدأ باستخدام القوانين والمفاهيم التالية:

1. قوانين الأسس: نستخدم قوانين الأسس لتبسيط المعادلة وتحويل الأساسات إلى نفس القاعدة.

2. قانون الأسس للأسس: هذا القانون يُساعد في تبسيط الأسس وتحويلها إلى صورة أساس واحد.

3. قانون حل المعادلات التربيعية: يستخدم لحل المعادلات التي تحتوي على متغيرات مربعة.

الآن، سنقوم بالحل خطوة بخطوة:

المعادلة المعطاة:
$2^{x^2 – 3x – 2} = 4^{x – 4}$

نستخدم قانون الأسس لتحويل الأساسات إلى نفس القاعدة:

$2^{x^2 – 3x – 2} = (2^2)^{x – 4}$

ونحسب القوى:
$2^{x^2 – 3x – 2} = 2^{2(x – 4)}$

بما أن الأساس لديه نفس القاعدة، يجب أن تكون الأسس متساوية:
$x^2 – 3x – 2 = 2(x – 4)$

نقوم بتوسيع الفرق الجذري للقوس:
$x^2 – 3x – 2 = 2x – 8$
$x^2 – 3x – 2x + 8 + 2 = 0$
$x^2 – 5x + 10 = 0$

الآن، نستخدم قانون حل المعادلات التربيعية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث a = 1, b = -5, و c = 10. بعد حساب القيم، نحصل على:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \times 1 \times 10}}{2 \times 1}$
$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 40}}{2}$
$x = \frac{5 \pm \sqrt{-15}}{2}$

لا يوجد جذر حقيقي للعدد السالب تحت الجذر. وبالتالي، لا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة.

بما أنه لا يوجد حل للمعادلة، فإن المجموع الكلي لقيم x التي تحقق المعادلة هو 0.