حل معادلة تربيعية: جذور ومجموعها (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب مجموع قيمة x التي تحقق المعادلة التالية: جذر تربيعي لـ (x + 3)^2 يساوي 7.

لحساب القيم التي تحقق هذه المعادلة، نبدأ بفحص التعبير داخل الجذر التربيعي. المعادلة الأصلية هي:

$\sqrt{(x + 3)^2} = 7$

نقوم أولاً برفع الطرفين إلى الأس الثاني للتخلص من الجذر التربيعي:

$(x + 3)^2 = 7^2$

الآن نقوم بفك تربيع الطرفين:

$x^2 + 6x + 9 = 49$

نقلل 49 من الطرفين:

$x^2 + 6x – 40 = 0$

المعادلة الناتجة هي معادلة من الدرجة الثانية، ويمكن حساب جذورها باستخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن معاملات المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ هي:
$a = 1$
$b = 6$
$c = -40$

باستخدام هذه القيم في الصيغة، نحسب قيم x:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 – 4(1)(-40)}}{2(1)}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{196}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm 14}{2}$

لذا هناك حلين للمعادلة:

$x_1 = \frac{-6 + 14}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-6 – 14}{2} = -10$

الآن، نجيب على السؤال الأصلي الذي يطلب حساب مجموع قيم x. نقوم بجمع القيمتين:

$4 + (-10) = -6$

إذاً، مجموع قيم x التي تحقق المعادلة هو -6.

لحل هذه المسألة، بدأنا بالمعادلة الأصلية: $\sqrt{(x + 3)^2} = 7$. قمنا بتحويلها إلى معادلة ثانوية ومن ثم استخدمنا الصيغة العامة لحساب الجذور. الآن، سأقدم تفاصيل أكثر حول الخطوات التي تم اتخاذها مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. رفع الطرفين إلى الأس الثاني:
   نبدأ برفع الطرفين إلى الأس الثاني للتخلص من الجذر التربيعي. قاعدة العملية هنا هي أن إذا كان $\sqrt{a} = b$، فإن $a = b^2$.

   $\sqrt{(x + 3)^2} = 7 \implies (x + 3)^2 = 7^2$

2. فك تربيع الطرفين:
   نقوم بفك تربيع الطرفين للحصول على معادلة ثانوية. قاعدة العملية هنا هي $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

   $(x + 3)^2 = 49 \implies x^2 + 6x + 9 = 49$

3. تبسيط المعادلة:
   نقوم بتبسيط المعادلة بطرح 49 من الطرفين.

   $x^2 + 6x – 40 = 0$

4. استخدام صيغة حساب الجذور:
   نستخدم صيغة الجذور العامة لحساب القيمة المطلوبة. صيغة الجذور هي: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

   في هذه الحالة:
   $a = 1$
   $b = 6$
   $c = -40$

5. حساب القيم:
   نستخدم القيم في الصيغة للحصول على قيم x.

   $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 – 4(1)(-40)}}{2}$

   $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

   $x = \frac{-6 \pm \sqrt{196}}{2}$

   $x = \frac{-6 \pm 14}{2}$

   وبتحليل الجذور، نحصل على قيمتين لـ x: $x_1 = 4$ و $x_2 = -10$.

6. حساب المجموع:
   للحصول على المجموع، نقوم بجمع القيمتين المحسوبتين: $-10 + 4 = -6$.

بهذا، قمنا بحل المعادلة بشكل مفصل باستخدام القوانين الرياضية المعروفة مثل قوانين التربيع وصيغة حساب الجذور للمعادلات الثانوية.