حل معادلة تربيعية بجذر متكرر (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية: $2x^2 – 5x + k = 0$، حيث تمثل $k$ عدداً حقيقياً، تمتلك حلاً واحداً لـ $x$.

لنحل المعادلة التربيعية، نستخدم القاعدة الشهيرة المعروفة باسم “صيغة الجذر التربيعي”، التي تنص على أن الحلول لمعادلة من هذا النوع يمكن حسابها بواسطة الصيغة التالية:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث أن $a$, $b$, و $c$ هي معاملات المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$.

في المعادلة $2x^2 – 5x + k = 0$:
$a = 2$, $b = -5$, و $c = k$.

بما أن لدينا حل واحد فإن المعادلة تمتلك جذراً متكرراً. وحيث أن الجذر المكرر يحدث عندما يكون جزء الجذر في الصيغة المذكورة أعلاه يساوي صفرًا.

بالتالي، نستخدم هذه المعلومة لحساب قيمة $k$:

$b^2 – 4ac = 0$
$-5^2 – 4 \times 2 \times k = 0$
$25 – 8k = 0$
$8k = 25$
$k = \frac{25}{8}$

إذاً، قيمة $k$ تساوي $\frac{25}{8}$.

لحل المعادلة التربيعية $2x^2 – 5x + k = 0$ التي تمتلك جذرًا متكررًا، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين في الجبر.

1. صيغة الجذر التربيعي:
   في الجبر، لحساب الجذور للمعادلة التربيعية بصورة عامة $ax^2 + bx + c = 0$، نستخدم صيغة الجذر التربيعي:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

2. الجذر المتكرر:
   عندما يكون جزء الجذر $(b^2 – 4ac)$ يساوي صفرًا، فإن المعادلة تمتلك جذرًا متكررًا.

3. حساب قيمة $k$:
   بالنظر إلى المعادلة $2x^2 – 5x + k = 0$، نستخدم الشرط الذي يتطلب أن يساوي جزء الجذر $(b^2 – 4ac)$ صفرًا لأن لدينا جذرًا متكررًا.

الآن، دعونا نحل المعادلة:

1. نعرف قيم $a$, $b$, و $c$ من المعادلة:
   $a = 2$, $b = -5$, $c = k$.

2. نستخدم الشرط $b^2 – 4ac = 0$ لحساب قيمة $k$:
   $-5^2 – 4 \times 2 \times k = 0$
   $25 – 8k = 0$
   $8k = 25$
   $k = \frac{25}{8}$

بهذا، وباستخدام القوانين المذكورة في الجبر، نحصل على قيمة $k$ التي تجعل المعادلة $2x^2 – 5x + k = 0$ تمتلك جذرًا متكررًا واحدًا.