حل معادلة تربيعية بالتباين (مسألة رياضيات)

نريد أن نحدد جميع القيم الإيجابية للعدد $c$ التي تجعل المعادلة التالية تمتلك حلول حقيقية:
$x^2 – 6x + c < 0$

لحل هذه المسألة، نستخدم المعادلة الثانوية ونفكّكها باستخدام الطريقة التقليدية لإيجاد الجذور. في هذه الحالة، نريد أن نعرف الشروط التي تجعل المعادلة الثانوية تمتلك حلولاً حقيقية، أي عندما يكون المعطى $x^2 – 6x + c$ أقل من صفر.

لنجد الجذور، نستخدم الصيغة العامة للمعادلة الثانوية: $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$.

نعرف أن لدينا:
$a = 1, \quad b = -6, \quad \text{و} \quad c = c$

نقوم بحساب الجذر التربيعي للتعبير $b^2 – 4ac$ والذي يساوي $(-6)^2 – 4 \times 1 \times c = 36 – 4c$.

حيث نريد أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر حتى تكون هناك حلول حقيقية، لذا نحل المتباينة التالية:
$36 – 4c > 0$
$4c < 36$
$c < 9$

إذًا، الشرط الأساسي لوجود حلول حقيقية هو أن $c$ يكون أقل من 9. لكننا نريد أن نحدد القيم الإيجابية لـ $c$، لذا القيمة الصحيحة لـ $c$ هي تلك التي تقع في الفترة $(0, 9)$ لأننا نريد القيم الإيجابية فقط.

لذا، حل المعادلة هو: $c \in (0, 9)$.

لحل مسألة تحديد القيم الإيجابية لـ $c$ في المعادلة التربيعية $x^2 – 6x + c < 0$، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والمعادلات التربيعية.

1. المعادلة التربيعية: المعادلة التربيعية عبارة عن معادلة من الدرجة الثانية في شكل $ax^2 + bx + c = 0$، حيث $a \neq 0$، وتحتوي على متغير $x$ وتظهر فيها قوى تربيعية لهذا المتغير.

2. التمام الجذري: إذا كانت المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$، فإن الجذرين $x_1$ و $x_2$ يحسبان بواسطة الصيغة التالية:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

3. التباين الرياضي: يُستخدم التباين الرياضي لتحديد شروط وجود حلول حقيقية للمعادلة التربيعية. إذا كان $b^2 – 4ac > 0$، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين، وإذا كان $b^2 – 4ac = 0$، فإن للمعادلة جذرًا مزدوجًا، وإذا كان $b^2 – 4ac < 0$، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.

الآن، دعنا نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

نعطى المعادلة $x^2 – 6x + c < 0$ ونريد معرفة القيم الإيجابية لـ $c$ التي تجعل هذه المعادلة تمتلك حلولاً حقيقية.

أولاً، نريد أن نتأكد من وجود حلول حقيقية للمعادلة. لذا نستخدم التباين الرياضي:
$b^2 – 4ac > 0$
$(-6)^2 – 4 \times 1 \times c > 0$
$36 – 4c > 0$
$4c < 36$
$c < 9$

لذا، الشرط الأساسي لوجود حلول حقيقية هو أن $c$ يكون أقل من 9.

ثانياً، نريد القيم الإيجابية لـ $c$، لذا القيمة الصحيحة لـ $c$ هي تلك التي تقع في الفترة $(0, 9)$، حيث نريد القيم الإيجابية فقط.

لذا، حل المعادلة هو: $c \in (0, 9)$.