حل معادلة تربيعية بالأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية $x^2-3x+9=x+41$ لديها حلاً. ما هو الفارق الإيجابي بين هذين الحلايا؟

لحل هذه المسألة، يجب أولاً أن نقوم بترتيب المعادلة وتحويلها إلى صيغة قياسية للمعادلة التربيعية، وذلك عن طريق خصم $x$ وطرح $41$ من الطرفين:

$x^2 – 4x + 9 = 0$

ثم يمكننا استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلة التربيعية للعثور على قيم الـ $x$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

في هذه المعادلة، يكون $a=1$، $b=-4$، و $c=9$، لذا نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة. ثم نقوم بحساب القيمتين لـ $x$:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-36}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{2}$

هنا نواجه جذراً سالبًا تحت الجذر، مما يعني أن المعادلة ليس لديها حلاً في الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، يمكننا حساب الجذر التخيلي للعثور على الحل الخاص بالأعداد المركبة.

$x = \frac{4 \pm i\sqrt{20}}{2}$

الآن، بما أننا نريد الفارق الإيجابي بين الحلين، فإن الحلين هما القيمتين التاليتين:

$x_1 = \frac{4 + i\sqrt{20}}{2}$

$x_2 = \frac{4 – i\sqrt{20}}{2}$

لحساب الفارق الإيجابي بين هذين الحلين، نقوم بطرحهما:

$x_1 – x_2 = \frac{4 + i\sqrt{20}}{2} – \frac{4 – i\sqrt{20}}{2}$

$x_1 – x_2 = \frac{4 + i\sqrt{20} – 4 + i\sqrt{20}}{2}$

$x_1 – x_2 = \frac{2i\sqrt{20}}{2}$

$x_1 – x_2 = i\sqrt{20}$

بالتالي، الفارق الإيجابي بين الحلين هو $i\sqrt{20}$.

لحل المعادلة التربيعية $x^2-3x+9=x+41$، نقوم أولاً بتجميع معايير المعادلة لتكون في صيغة قياسية للمعادلة التربيعية. يتم ذلك عن طريق خصم $x$ وطرح $41$ من الجانبين، مما يؤدي إلى المعادلة التربيعية التالية:

$x^2 – 4x + 9 = 0$

الآن، نستخدم الصيغة العامة لحلا المعادلة التربيعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث $a$، $b$، و $c$ هي معاملات المعادلة. في هذه المعادلة، $a=1$، $b=-4$، و $c=9$.

نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-36}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{2}$

هنا نواجه جذراً سالبًا تحت الجذر، مما يدل على أن المعادلة لا تمتلك حلاً في الأعداد الحقيقية. ولكن يمكننا استخدام الأعداد المركبة للعثور على الحل.

$x = \frac{4 \pm i\sqrt{20}}{2}$

الآن، يمكننا الحصول على الحلين:

$x_1 = \frac{4 + i\sqrt{20}}{2}$

$x_2 = \frac{4 – i\sqrt{20}}{2}$

لحساب الفارق الإيجابي بين هذين الحلين، نقوم بطرحهما:

$x_1 – x_2 = \frac{4 + i\sqrt{20}}{2} – \frac{4 – i\sqrt{20}}{2}$

$x_1 – x_2 = \frac{4 + i\sqrt{20} – 4 + i\sqrt{20}}{2}$

$x_1 – x_2 = \frac{2i\sqrt{20}}{2}$

$x_1 – x_2 = i\sqrt{20}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن:

1. خصم الطرفين: لترتيب المعادلة والوصول إلى صيغة قياسية.
2. صيغة الجذر التربيعي: لحساب الجذور باستخدام الصيغة العامة للمعادلة التربيعية.

تأتي هذه الخطوات من تطبيق قوانين الجبر والحساب.