حل معادلة تحتوي على قيم مطلقة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة هي: “إيجاد مجموع جميع الحلول للمعادلة $2^{|x|} + 3|x| = 18$.”

لحل هذه المسألة، يجب أولاً التفكير في الطريقة المناسبة للتعامل مع قيم مطلقة $|x|$. يمكننا تقسيم الحل إلى عدة حالات استنادًا إلى قيمة $x$.

للحالة الأولى: عندما $x \geq 0$، فإن $|x| = x$. بما أننا نعلم أن $x$ هو عدد حقيقي موجب، فإن المعادلة تتبسط إلى $2^x + 3x = 18$.

للحالة الثانية: عندما $x < 0$، فإن $|x| = -x$. بما أننا نعلم أن $x$ هو عدد حقيقي سالب، فإن المعادلة تتبسط إلى $2^{-x} - 3x = 18$.

لحل المعادلتين، يمكن استخدام الطرق الرياضية المناسبة مثل التحليل الرسمي أو استخدام الحساب. لنقم بحل كل من المعادلتين بالتفصيل:

لحالة $x \geq 0$:
تصبح المعادلة $2^x + 3x = 18$. يمكننا استخدام التحليل الرسمي أو الاختبار والخطأ لإيجاد الحلول. بالبحث عن القيم الممكنة لـ $x$، يمكننا أن نجد أن $x = 2$ هو حل للمعادلة.

لحالة $x < 0$:
تصبح المعادلة $2^{-x} – 3x = 18$. هنا، يمكن استخدام التحليل الرسمي أو تجريب القيم. بعد التجريب، يتضح أن ليس من السهل العثور على حلول لهذه المعادلة بطريقة تحليلية مباشرة.

بعد أن وجدنا الحل للحالة الأولى ولم نجد حلاً واضحاً للحالة الثانية، نستطيع العودة للنظر في مسألة الحالة الثانية للتحقق من وجود أي حلول.

بعد البحث والتحليل، يتبين أن الحلول السالبة لا تتناسب مع المعادلة الثانية.

لذا، الحل الكلي للمسألة هو العدد الوحيد $x = 2$، وبالتالي، مجموع جميع الحلول هو $2$.

لحل مسألة $2^{|x|} + 3|x| = 18$، نحتاج إلى فحص الحالتين: $x \geq 0$ و $x < 0$ بشكل منفصل.

للحالة $x \geq 0$:

عندما $x \geq 0$، فإن $|x| = x$. لذا، المعادلة تتحول إلى $2^x + 3x = 18$.

الخطوات:

1. تحليل الأسس والتماثلات:

   • استخدمنا القاعدة التي تقول أنه إذا كان $|x| = x$ عندما $x \geq 0$.
   • هذا يسمح لنا بتبسيط المعادلة إلى $2^x + 3x = 18$.

2. حل المعادلة:

   • نحاول إيجاد قيمة $x$ التي تحقق المعادلة $2^x + 3x = 18$.
   • باستخدام تقنيات الجبر والتجريب، نجد أن $x = 2$ هو الحل الوحيد لهذه المعادلة.

للحالة $x < 0$:

عندما $x < 0$، فإن $|x| = -x$. لذا، المعادلة تتحول إلى $2^{-x} - 3x = 18$.

الخطوات:

1. تحليل الأسس والتماثلات:

   • استخدمنا القاعدة التي تقول أنه إذا كان $|x| = -x$ عندما $x < 0$.
   • هذا يسمح لنا بتبسيط المعادلة إلى $2^{-x} – 3x = 18$.

2. البحث عن الحلول:

   • بعد التحليل والتجريب، نجد أنه من الصعب إيجاد حلول تحل المعادلة $2^{-x} – 3x = 18$ بطريقة تحليلية مباشرة.
   • يمكن تجريب القيم السالبة لـ $x$ للتحقق مما إذا كان هناك حلول أو لا.

3. التحليل النهائي:

   • يمكن أن نرى أنه من الصعب العثور على حلول مناسبة للمعادلة عند $x < 0$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة المطلقة: $|x| = x$ عندما $x \geq 0$ و $|x| = -x$ عندما $x < 0$.
2. قوانين الأسس واللوغاريتمات: تساعد في تحويل وتبسيط المعادلات التي تحتوي على أسس ولوغاريتمات.
3. قوانين الجبر: يتضمن ذلك استخدام العمليات الجبرية المعتادة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة لحل المعادلات.

باستخدام هذه القوانين والتحليل الدقيق، نستطيع الوصول إلى الحلول المناسبة للمعادلة الأصلية وفهم طريقة تفكير وإجراء العمليات اللازمة لحل المسألة.