حل معادلة بقوانين الأسس: تطبيق وحلول (مسألة رياضيات)

نحتاج إلى حل المعادلة التالية:

$8^{4x-6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$

لنبدأ بتفكيك الأسس للحصول على صورة مشتركة:

$8^{4x-6} = (2^3)^{4x-6} = 2^{3(4x-6)} = 2^{12x-18}$

و

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5} = 2^{-1(x+5)} = 2^{-x-5}$

الآن، نعيد صياغة المعادلة:

$2^{12x-18} = 2^{-x-5}$

للحل، يجب أن تكون الأسس متساوية، لذا يجب أن يكون السالب في الأس يساوي السالب في الأس الآخر، والموجب يساوي الموجب، أي:

$12x – 18 = -x – 5$

نقوم بجمع $x$ على الجهة اليمنى و اليسارية:

$12x + x = 18 – 5$

$13x = 13$

الآن نقوم بقسمة الطرفين على $13$ :

$x = 1$

إذاً، الحل للمعادلة هو $x = 1$.

لحل المسألة المعطاة، نبدأ بتحليل العلاقة الرياضية وتطبيق القوانين اللازمة لحل المعادلة. هنا الخطوات بالتفصيل:

المعادلة التي نريد حلها هي:

$8^{4x-6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$

نبدأ بتطبيق قوانين الأسس:

1. قوانين الأسس:

   • للتعبير $8^{4x-6}$، نستخدم قاعدة أسية لتحويل $8$ إلى قاعدة $2$، حيث $8 = 2^3$، لذا $8^{4x-6} = (2^3)^{4x-6} = 2^{3(4x-6)} = 2^{12x-18}$.
   • للتعبير $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$، نستخدم قاعدة أسية لتحويل $\frac{1}{2}$ إلى قاعدة $2$، حيث $\frac{1}{2} = 2^{-1}$، لذا $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5} = (2^{-1})^{x+5} = 2^{-1(x+5)} = 2^{-x-5}$.

2. تطبيق القوانين:

   • بعد تطبيق القوانين، نحصل على المعادلة التالية:
     $2^{12x-18} = 2^{-x-5}$

3. معادلة الأسس المتساوية:

   • حيث يجب أن تكون الأسس متساوية، نقارن الأسين:
     $12x – 18 = -x – 5$

4. حساب القيمة:

   • نجمع $x$ على الجانب الأيمن والأيسر من المعادلة للحصول على قيمة $x$:
     $12x + x = 18 – 5$
     $13x = 13$

5. حساب الحل النهائي:

   • بقسمة الطرفين على $13$، نحصل على قيمة $x$:
     $x = 1$

بالتالي، الحل للمعادلة هو $x = 1$.

تم استخدام قوانين الأسس في الحل، وهي قوانين رياضية أساسية تنطبق على عمليات الأسس وتساعد في تبسيط التعابير وحل المعادلات التي تحتوي على أسس.