حل معادلة بإكمال المربعات (مسألة رياضيات)

نريد حل معادلة الثاني درجة التالية باستخدام طريقة “استكمال المربعات”:

$9x^2 – 18x – 720 = 0$

أولاً، نقوم بتقسيم كل حد من العبارات على 9 لتسهيل العملية:

$x^2 – 2x – 80 = 0$

الآن نقوم بإكمال المربع التالي:

$(x – h)^2 = k$

حيث أن $h$ يمثل نصف معامل $x$ و $k$ هو القيمة المضافة بعد إكمال المربع. نقوم بحساب $h$ كالتالي:

$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \times 1} = 1$

الآن نقوم بإيجاد قيمة $k$ عن طريق وضع $x = 1$ في المعادلة الأصلية:

$(1)^2 – 2(1) – 80 = 1 – 2 – 80 = -81$

لكننا بحاجة إلى $k$ ليكون قيمة موجبة، لذا نأخذ القيمة المُعادلة لها:

$k = (-81) + 81 = 0$

إذًا، نجد أن القيمة المطلوبة لـ $s$ هي 0.

لحل المسألة باستخدام طريقة “استكمال المربعات”، نتبع الخطوات التالية:

المعادلة الأصلية هي:
$9x^2 – 18x – 720 = 0$

1. تقسيم عوامل معامل $x^2$ و $x$ والثوابت:
   نقوم بتقسيم كل عامل على 9 لتسهيل الحساب:
   $x^2 – 2x – 80 = 0$

2. استكمال المربع:
   نريد تحويل المعادلة إلى شكل $(x + r)^2 = s$.
   لنقم بإكمال المربع من خلال إضافة وتقسيم $(b/2)^2$ حيث $b$ هو معامل $x$.

   قانون استكمال المربع:
   $(x + \frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2$

3. حساب $h$ و $k$:
   نحسب $h$ باستخدام الصيغة: $h = \frac{-b}{2a}$.
   وهنا $a = 1$ و $b = -2$.
   $h = \frac{-(-2)}{2 \times 1} = 1$

   ثم نستخدم $h$ لإيجاد $k$ بوضع قيمة $x = h$ في المعادلة الأصلية.

4. حساب القيمة المطلوبة:
   بعد حساب $k$، نكون قد حصلنا على الشكل المطلوب $(x + r)^2 = s$.

   القانون المستخدم هو قانون حساب المربع:
   $s = k + (\frac{b}{2})^2$

5. الحل:
   بوضع القيم المحسوبة في القانون، نجد القيمة المطلوبة لـ $s$.

   في هذه المسألة، بمجرد أن قمنا بحساب $h$ و $k$، نجد أن $k = 0$، وبالتالي:
   $s = k + (\frac{b}{2})^2 = 0 + (\frac{-2}{2})^2 = 0 + 1 = 1$

   إذًا، قيمة $s$ هي 1.

هذه هي الخطوات التفصيلية لحل مسألة استكمال المربعات، حيث استخدمنا القوانين الأساسية للجبر مثل قوانين الإضافة والطرح وقوانين استكمال المربعات.