حل معادلة المقدار المطلق في الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “عند أي قيمة موجبة لـ $t$ تصبح المعادلة $|6 + ti| = 10$ صحيحة؟”

لحل هذه المسألة، نبدأ بفهم ما تعنيه المعادلة $|6 + ti| = 10$. المتغير $t$ هو عدد حقيقي موجب، ونريد أن نجد قيمة $t$ التي تجعل قيمة المقدار المطلق للعدد المركب $6 + ti$ تساوي $10$.

العدد المركب $6 + ti$ هو عبارة عن عدد مركب يتكون من جزئين: الجزء الحقيقي $6$ والجزء الخيالي $ti$. المعادلة تقول إن المسافة بين نقطة $(0,0)$ في المستوى الحقيقي-الخيالي ونقطة $(6, t)$ تساوي $10$.

لحل المعادلة، نستخدم القاعدة الأساسية للمقدار المطلق في الأعداد المركبة. إذا كان $z = a + bi$، فإن مقداره المطلق يكون $\sqrt{a^2 + b^2}$.

لذا، نقوم بحساب المقدار المطلق للعدد المركب $6 + ti$ كالتالي:
$|6 + ti| = \sqrt{6^2 + t^2} = \sqrt{36 + t^2}$

الآن، نضع المقدار المطلق المحسوب في المعادلة الأصلية:
$\sqrt{36 + t^2} = 10$

للتخلص من الجذر، نربع الطرفين:
$36 + t^2 = 100$

ثم نقوم بطرح $36$ من الجانبين:
$t^2 = 100 – 36 = 64$

ثم نأخذ الجذر التربيعي من الجانبين مع الاهتمام بالقيمة الموجبة لـ $t$:
$t = \sqrt{64} = 8$

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تجعل المعادلة $|6 + ti| = 10$ صحيحة هي $t = 8$.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم المقدار المطلق في الأعداد المركبة وبعض الخطوات الأساسية في حسابات الجبر.

1. المقدار المطلق في الأعداد المركبة:
   في الأعداد المركبة، المقدار المطلق للعدد المركب $z = a + bi$ حيث $a$ هو الجزء الحقيقي و $b$ هو الجزء الخيالي يُعرف بالصيغة التالية:
   $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
   هذا يعني أن المقدار المطلق لعدد مركب هو المسافة بين نقطته ونقطة الأصل (نقطة $(0,0)$) في المستوى الحقيقي-الخيالي.

2. حل المسألة:
   في المسألة المعطاة، نعطي المعادلة $|6 + ti| = 10$، حيث $t$ هو المتغير الذي نريد أن نحدد قيمته.

   نبدأ بتحديد المقدار المطلق للعدد المركب $6 + ti$:
   $|6 + ti| = \sqrt{6^2 + t^2} = \sqrt{36 + t^2}$

   بعد ذلك، نضع هذا المقدار المطلق في المعادلة الأصلية:
   $\sqrt{36 + t^2} = 10$

   للتخلص من الجذر، نربع الطرفين:
   $36 + t^2 = 100$

   ثم نقوم بطرح $36$ من الجانبين:
   $t^2 = 100 – 36 = 64$

   وأخيراً، نأخذ الجذر التربيعي من الجانبين مع الاهتمام بالقيمة الموجبة لـ $t$:
   $t = \sqrt{64} = 8$

   لذا، القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تجعل المعادلة $|6 + ti| = 10$ صحيحة هي $t = 8$.

القوانين المستخدمة هي:

• قانون المقدار المطلق في الأعداد المركبة.
• قوانين الجبر الأساسية مثل قوانين الجمع والطرح والضرب والقوى.