حل معادلة المساحة الزراعية بأبعاد متغيرة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بحقل زراعي لديه أبعاد $2m+7$ و $m-2$، وإذا كان لديه مساحة تبلغ 51 وحدة مربعة، فما هي قيمة $m$؟

المسألة:
لدى المزارع حقل زراعي بأبعاد $2m+7$ و $m-2$. إذا كانت مساحة الحقل تساوي 51 وحدة مربعة، ما هي قيمة $m$؟

الحل:
لحساب مساحة الحقل، نقوم بضرب الطول في العرض. لدينا:
$مساحة = (2m+7) \times (m-2)$

نقوم بحساب هذا التعبير ونجعله يساوي 51:
$(2m+7) \times (m-2) = 51$

نقوم بفتح الأقواس:
$2m^2 – 4m + 7m – 14 = 51$

نجمع ونقلب العبارة لتكون معادلة تربعية قياسية:
$2m^2 + 3m – 65 = 0$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحساب الجذور:
$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن المعادلة لدينا هي $2m^2 + 3m – 65 = 0$، لذا:
$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -65$

نقوم بحساب قيمتي $\Delta$ (المؤشر) والجذر التربيعي لها:
$\Delta = b^2 – 4ac$
$\Delta = 3^2 – 4(2)(-65)$
$\Delta = 9 + 520$
$\Delta = 529$

الآن نقوم بحساب الجذور باستخدام الصيغة العامة:
$m = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{4}$

$m = \frac{-3 \pm 23}{4}$

لذا، لدينا جذرين:
$m_1 = \frac{-3 + 23}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$m_2 = \frac{-3 – 23}{4} = \frac{-26}{4} = -6.5$

ومن المعقول أن نتجاهل الجذر السالب لأن الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة، لذا قيمة $m$ هي 5.

لحل هذه المسألة، سنتبع خطوات التحليل الرياضي ونستخدم بعض القوانين الأساسية في الجبر وحساب المعادلات. سنقوم بتوسيع الحل وتوضيح الخطوات بشكل أكبر.

المسألة:

لدينا حقل زراعي بأبعاد $2m+7$ و $m-2$، ونريد معرفة قيمة $m$ عندما تكون مساحة الحقل تساوي 51 وحدة مربعة.

الحل:

نستخدم قانون حساب مساحة المستطيل، الذي يكون:

$\text{المساحة} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

في هذه الحالة، يكون لدينا:

$(2m+7) \times (m-2) = 51$

نفتح الأقواس:

$2m^2 + 3m – 14 = 51$

ثم ننقل جميع المصطلحات إلى جهة واحدة لتكون المعادلة الرباعية القياسية:

$2m^2 + 3m – 65 = 0$

الآن، نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية:

$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -65$

نحسب قيمة المؤشر (الجذر التربيعي للمنطقة تحت الجذر) كالتالي:

$\Delta = b^2 – 4ac$
$\Delta = 3^2 – 4(2)(-65)$
$\Delta = 9 + 520$
$\Delta = 529$

الآن، نستخدم القانون لحساب الجذور:

$m = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{4}$

$m = \frac{-3 \pm 23}{4}$

نحصل على جذرين:

$m_1 = \frac{-3 + 23}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$m_2 = \frac{-3 – 23}{4} = \frac{-26}{4} = -6.5$

ونجد أن القيمة الإيجابية 5 هي الحلا المنطقيًا، حيث لا يمكن أن تكون الأبعاد سالبة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب مساحة المستطيل: يُستخدم لحساب مساحة المستطيل ويُعبر عنه بالصيغة: المساحة = الطول × العرض.
2. الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية: يُستخدم لحساب جذور المعادلات التربيعية ويعبر عنه بالصيغة: $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.