حل معادلة القيم المطلقة: تحليل وحلول (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

العثور على الحل للمعادلة $x|x| = 2x+1$ الذي يحمل أصغر قيمة.

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

الحل:

لحل هذه المعادلة، نبدأ بتقسيم المسألة إلى حالات مختلفة بناءً على قيمة $x$.

1. عندما $x \geq 0$:
   في هذه الحالة، المعادلة تتبنى شكل $x^2 = 2x + 1$. لحل هذا، نقوم بتجميع جميع المصطلحات على جهة واحدة ونقوم بتطبيق خوارزمية الجذر التربيعي. يعطينا ذلك:
   $x^2 – 2x – 1 = 0$
   باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية، نحصل على:
   $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$
   $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$
   $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$
   $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$
   $x = 1 \pm \sqrt{2}$

حيث أن $1 + \sqrt{2}$ يعطينا قيمة إيجابية و $1 – \sqrt{2}$ أصغر من الصفر.

2. عندما $x < 0$: في هذه الحالة، يصبح شكل المعادلة $-x^2 = 2x + 1$. نقوم بتجميع المصطلحات لنحصل على: $x^2 + 2x + 1 = 0$
   وهذا يمثل مربعًا مثاليًا معامل الـ $(x+1)^2$. بالتالي، نحصل على:
   $(x+1)^2 = 0$
   $x+1 = 0$
   $x = -1$

الآن، علينا مقارنة الحلين:

• للقيمة $1 + \sqrt{2}$، قيمتها أكبر من صفر.
• للقيمة $1 – \sqrt{2}$، قيمتها أقل من صفر.
• للقيمة $-1$، قيمتها أقل من صفر.

إذاً، القيمة الصغرى هي $-1$.

لحل معادلة $x|x| = 2x + 1$، سنقوم بتقسيم المسألة إلى حالات مختلفة باستخدام القوانين الرياضية المناسبة، وهي:

1. القانون الأساسي لضرب الأعداد: $a \times b = 0$ إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفر.
2. قوانين التربيع: $x^2 = a$ يمكن أن يحل بأخذ الجذر التربيعي لكل جانب من المعادلة.
3. قوانين القوى: $x^n = a$ يمكن حلها باستخدام جذر العدد.

الآن، سنبدأ بحل المعادلة $x|x| = 2x + 1$:

عندما $x \geq 0$:
في هذه الحالة، المعادلة تصبح $x^2 = 2x + 1$، حيث أننا نستبعد القيم السالبة لـ $x$ نظرًا لأننا نفترض أن $x$ يعبر عن عدد حقيقي موجب.
نقوم بتجميع المصطلحات لنحصل على $x^2 – 2x – 1 = 0$.
نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية للحصول على القيمة الممكنة لـ $x$.

عندما $x < 0$: في هذه الحالة، المعادلة تصبح $-x^2 = 2x + 1$، حيث أننا نستبعد القيم الإيجابية لـ $x$ نظرًا لأنها لا تنطبق على هذا النطاق. نقوم بتجميع المصطلحات لنحصل على $x^2 + 2x + 1 = 0$. وهذا يمثل مربعًا مثاليًا معامل الـ $(x+1)^2$، وبالتالي نحصل على $x = -1$.

بعد الحصول على الحلول لكل حالة، نقوم بمقارنتها للعثور على الحل الأصغر، والذي هو $-1$ في هذه الحالة.

هذا الحل يعتمد على فهم القوانين الأساسية في الجبر والجذور والتربيع واستخدامها بشكل صحيح لحل المعادلات.