حل معادلة التربيعية: مسألة الجذور والضرب (مسألة رياضيات)

المطلوب: إيجاد مجموع جميع الأعداد $x$ التي تُرضي المعادلة $x + \frac{25}{x} = 10$.

حل المسألة:

نبدأ بتحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية عن طريق ضرب كل طرف في $x$ لتخلص من المقام في الجزء الثاني من المعادلة:

$x^2 + 25 = 10x$

ثم نقل كل المصطلحات إلى الجهة اليمنى من المعادلة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية قياسية:

$x^2 – 10x + 25 = 0$

الآن، نحتاج إلى حل هذه المعادلة. يمكننا استخدام القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$ و $b = -10$ و $c = 25$.

الآن نستخدم هذه القيم في المعادلة:

$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 100}}{2}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{10 \pm 0}{2}$

$x = \frac{10}{2} = 5$

لذا، الحل الوحيد للمعادلة هو $x = 5$.

بالتالي، مجموع جميع الأعداد $x$ التي تحقق المعادلة هو $5$.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح الخطوات بشكل أكثر تفصيلاً وسنذكر القوانين المستخدمة في حل هذه المسألة.

المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي:
$x + \frac{25}{x} = 10$

لنقم بتحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية. نقوم بضرب كل جانب في $x$ للتخلص من المقام في الكسر:
$x^2 + 25 = 10x$

ثم نقل كل المصطلحات إلى جهة واحدة للحصول على المعادلة القياسية:
$x^2 – 10x + 25 = 0$

في هذه المرحلة، نستخدم القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن:
$a = 1, \quad b = -10, \quad c = 25$

نستخدم هذه القيم في المعادلة:
$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

الآن نقوم بحساب القيم:
$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 100}}{2}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{10 \pm 0}{2}$

$x = \frac{10}{2} = 5$

لذا، الحلاول الوحيدة للمعادلة هي $x = 5$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

1. ضرب في $x$: قمنا بضرب كل طرف في المعادلة في $x$ للتخلص من المقام في الكسر.

2. الترتيب والتجميع: نقلنا جميع المصطلحات إلى جهة واحدة للحصول على معادلة قياسية من الدرجة الثانية.

3. قاعدة حل المعادلات الثانوية: استخدمنا القاعدة العامة لحل معادلات الدرجة الثانية للعثور على القيم الممكنة لـ $x$.

4. حساب القيم: نقوم بحساب القيم الرقمية للعثور على الحلاول النهائية للمعادلة.

باختصار، استخدمنا القوانين الرياضية الأساسية لتحويل وحل المعادلة والوصول إلى القيمة النهائية لـ $x$.