حل معادلة التحويل القوى: الأسس المتساوية (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يجب حلها هي:
$2^{(16^x)} = 16^{(2^x)}.$

لحل هذه المعادلة، سنحاول تبسيط القوى واستخدام القواعد الجبرية المعروفة. لنبدأ بالتحليل:

من القواعد الجبرية، نعلم أن $16 = 2^4$، لذا يمكن كتابة $16^{2^x}$ على النحو التالي: $(2^4)^{2^x}$، وهو يساوي $2^{4 \times 2^x}$.

الآن نستخدم هذا التبسيط في المعادلة الأصلية:
$2^{(16^x)} = 2^{4 \times 2^x}.$

الآن، نلاحظ أن الأساس في الجانبين متساوي. بما أن الأساس متساوٍ، يجب أن تكون الأسس أيضًا متساوية، لذا يمكن كتابة:
$16^x = 4 \times 2^x.$

الآن لتبسيط المعادلة، نقوم بتفكيك 16 إلى $2^4$:
$(2^4)^x = 4 \times 2^x.$

باستخدام قوانين الأسس، يمكننا ضرب الأسس:
$2^{4x} = 4 \times 2^x.$

الآن نريد أن نجعل قوى الـ 2 متساوية، لذا يجب أن تكون $4x = x + 2$. الآن يتبقى حل المعادلة التالية:

$4x = x + 2.$

نطرح $x$ من كلا الجانبين:
$4x – x = 2.$
$3x = 2.$
$x = \frac{2}{3}.$

لذا، الحل للمعادلة الأصلية هو $x = \frac{2}{3}$.

لحل المعادلة $2^{(16^x)} = 16^{(2^x)}$، سنستخدم الخطوات التالية مع بعض القوانين الجبرية:

1. قانون قوة قوة:
   $(a^m)^n = a^{mn}$
   هذا القانون يُستخدم لتبسيط التعابير التي تحتوي على أسس متداخلة.

2. تمثيل 16 بواسطة الأساس 2:
   $16 = 2^4$

3. تطابق الأساس:
   عندما يكون لدينا نفس الأساس في الجهتين اليمنى واليسرى للمعادلة، فإن الأسس يجب أن يكونوا متساويين.

بعد هذه الخطوات، نبدأ بتبسيط المعادلة:

نستخدم التمثيل لـ 16:
$16^{2^x} = (2^4)^{2^x} = 2^{4 \cdot 2^x}$

الآن، المعادلة تصبح:
$2^{(16^x)} = 2^{4 \cdot 2^x}$

لدينا نفس الأساس على كلا الجانبين، لذا يجب أن تكون الأسس متساوية:
$16^x = 4 \cdot 2^x$

الآن نقوم بحل المعادلة الناتجة:
$2^{4x} = 4 \cdot 2^x$

نريد أن تكون الأسس متساوية، لذا:
$4x = x + 2$

نقوم بحل المعادلة:
$4x – x = 2$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$

هذه هي الخطوات المفصلة لحل المعادلة المعطاة، باستخدام القوانين الجبرية المعروفة في الجبر.